Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có:

Góc BID bằng góc CKD (cùng bằng góc ngoài của tam giác BCK).
Góc AKB bằng góc AKC (cùng bằng góc nội tiếp trên cùng đường tròn AKBC).
Từ đó, ta có hai tam giác AKB và CKD đồng dạng.
Vậy, ta có AK/KD = AB/CD.
Áp dụng định lí Phan-tanh trong tam giác ABD, ta có:

AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB.BD.cos(BAD)

Áp dụng định lí Phan-tanh trong tam giác CBD, ta có:

CD^2 = CB^2 + BD^2 - 2CB.BD.cos(CBD)

Do đó:

AD^2 + CD^2 = AB^2 + 2BD^2 + CB^2 - 2AB.BD.cos(BAD) - 2CB.BD.cos(CBD)

Vì BI là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:

BD = BC.cos(BAC) = BC.sin(BDC)

Tương tự, với CK là đường cao của tam giác ABC, ta có:

BD = BC.cos(ACB) = BC.sin(CBD)

Do đó:

BD^2 = BC^2.sin(BDC)^2 = BC^2.(1 - cos(BDC)^2)
BD^2 = BC^2.(1 - cos(CBD)^2)

Từ đó, ta có:

2BD^2 = BC^2.(1 - cos(BDC)^2 + 1 - cos(CBD)^2)
2BD^2 = BC^2.(2 - cos(BDC)^2 - cos(CBD)^2)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác BDC, ta có:

cos(BDC) = (BD^2 + BC^2 - CD^2)/(2BD.BC)

Tương tự, với tam giác CBD, ta có:

cos(CBD) = (BD^2 + BC^2 - CD^2)/(2BD.BC)

Do đó:

cos(BDC)^2 + cos(CBD)^2 = 2(BD^2 + BC^2 - CD^2)/(2BD^2.BC^2)
cos(BDC)^2 + cos(CBD)^2 = (BD^2 + BC^2 - CD^2)/(BD^2.BC^2)

Thay vào công thức trên, ta có:

AD^2 + CD^2 = AB^2 + BC^2 + CB^2 - 2AB.BC.sin(BAC).sin(ACB)
AD^2 + CD^2 = AB^2 + BC^2 + CB^2 - 2AB.CB.sin(BAC).sin(ACB)
AD^2 + CD^2 = AB^2 + BC^2 + CB^2 - 2AB.CB.2S/(AB.AC)
AD^2 + CD^2 = AB^2 + BC^2 + CB^2 - 4S^2/(AB.AC)

Vì IK song song với BC, nên ta có:

S = AK.BC = CK.AB

Thay vào công thức trên, ta có:

AD^2 + CD^2 = AB^2 + BC^2 + CB^2 - 4AK.CK.BD^2/(AB.AC)

Áp dụng định lí Phan

...Xem thêm

Answer 2

Ta có:

Góc BID bằng góc CKD (cùng bằng góc ngoài của tam giác BCK).
Góc AKB bằng góc AKC (cùng bằng góc nội tiếp trên cùng đường tròn AKBC).
Từ đó, ta có hai tam giác AKB và CKD đồng dạng.
Vậy, ta có AK/KD = AB/CD.
Áp dụng định lí Phan-tanh trong tam giác ABD, ta có:

AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB.BD.cos(BAD)

Áp dụng định lí Phan-tanh trong tam giác CBD, ta có:

CD^2 = CB^2 + BD^2 - 2CB.BD.cos(CBD)

Do đó:

AD^2 + CD^2 = AB^2 + 2BD^2 + CB^2 - 2AB.BD.cos(BAD) - 2CB.BD.cos(CBD)

Vì BI là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:

BD = BC.cos(BAC) = BC.sin(BDC)

Tương tự, với CK là đường cao của tam giác ABC, ta có:

BD = BC.cos(ACB) = BC.sin(CBD)

Do đó:

BD^2 = BC^2.sin(BDC)^2 = BC^2.(1 - cos(BDC)^2)
BD^2 = BC^2.(1 - cos(CBD)^2)

Từ đó, ta có:

2BD^2 = BC^2.(1 - cos(BDC)^2 + 1 - cos(CBD)^2)
2BD^2 = BC^2.(2 - cos(BDC)^2 - cos(CBD)^2)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác BDC, ta có:

cos(BDC) = (BD^2 + BC^2 - CD^2)/(2BD.BC)

Tương tự, với tam giác CBD, ta có:

cos(CBD) = (BD^2 + BC^2 - CD^2)/(2BD.BC)

Do đó:

cos(BDC)^2 + cos(CBD)^2 = 2(BD^2 + BC^2 - CD^2)/(2BD^2.BC^2)
cos(BDC)^2 + cos(CBD)^2 = (BD^2 + BC^2 - CD^2)/(BD^2.BC^2)

Thay vào công thức trên, ta có:

AD^2 + CD^2 = AB^2 + BC^2 + CB^2 - 2AB.BC.sin(BAC).sin(ACB)
AD^2 + CD^2 = AB^2 + BC^2 + CB^2 - 2AB.CB.sin(BAC).sin(ACB)
AD^2 + CD^2 = AB^2 + BC^2 + CB^2 - 2AB.CB.2S/(AB.AC)
AD^2 + CD^2 = AB^2 + BC^2 + CB^2 - 4S^2/(AB.AC)

Vì IK song song với BC, nên ta có:

S = AK.BC = CK.AB

Thay vào công thức trên, ta có:

AD^2 + CD^2 = AB^2 + BC^2 + CB^2 - 4AK.CK.BD^2/(AB.AC)

Áp dụng định lí Phan

1 câu trả lời 1951

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8