Ta có tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao và BD là đường trung bình của tam giác. Vậy ta có $BD=\frac{AC}{2}$.

Gọi M là trung điểm của AB, ta có $AM=MB$. Gọi N là trung điểm của AC, ta có $AN=NC$.

Vì tam giác ABC cân nên ta có $AM \perp CN$ và $AN \perp BM$.

Do đó, ta có tứ giác AMHN là hình chữ nhật với $AH=MN$ và $AM=HN$.

Gọi K là trung điểm của HD, ta có $HK=\frac{1}{2}HD$.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AHD, ta có:

$AD^2=AH^2+HD^2$

$AD^2=AH^2+4HK^2$

Mà $AH=MN$ nên ta có $AH=\frac{1}{2}AC$.

Do đó, ta có:

$AD^2=\frac{1}{4}AC^2+4HK^2$

$16AD^2=4AC^2+64HK^2$

$16AD^2=16BD^2+64HK^2$

$4AD^2=4BD^2+16HK^2$

$AD^2-BD^2=4HK^2$

$CD^2-BD^2=4HK^2$

$BD.KH=\frac{1}{4}(CD^2-BD^2)$

$BD.KH=\frac{1}{4}(CD-BD)(CD+BD)$

$AD^2=AH^2+4HK^2$0

Vậy ta có $BD.KH=\frac{1}{4}AC.CD$.

Do đó, ta cần chứng minh $AK.CD=BD.KH$.

Ta có $AK=AD-DK$ và $DK=KH-BD$.

Do đó, ta có:

$AD^2=AH^2+4HK^2$1

$AD^2=AH^2+4HK^2$2

$AD^2=AH^2+4HK^2$3

$AD^2=AH^2+4HK^2$4

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AHD, ta có:

$AD^2=AH^2+HD^2$

$AD^2=AH^2+4HK^2$6

$AD^2=AH^2+4HK^2$7

$AD^2=AH^2+4HK^2$8

$AD^2=AH^2+4HK^2$9

Mà tam giác ABC cân nên ta có $AB^2=\frac{1}{2}AC^2$.

Do đó, ta có:

$AD^2=\frac{1}{4}AC^2+4HK^2$0

$AD^2=\frac{1}{4}AC^2+4HK^2$1

Mà $HK=\frac{1}{2}HD$ nên ta có:

$AD^2=\frac{1}{4}AC^2+4HK^2$2

$AD^2=\frac{1}{4}AC^2+4HK^2$3

Áp dụ