(a) Ta có:
∠AEB = ∠ACB (cùng nằm trên cùng một cung AB trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
∠BAE = ∠C (do hai tam giác AHE và ABC đồng dạng với nhau)
∠BCA = ∠BEA (cùng nằm trên cùng một cung AC trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
Do đó, hai tam giác AEB và ACB đồng dạng với nhau. Từ đây suy ra:
AF/AB = AC/AE
Tương đương với: AF.AB = AE.AC

(b) Ta chứng minh ∆AEF = ∆ABC bằng cách tính diện tích của hai tam giác theo hai cách khác nhau và chứng minh rằng chúng bằng nhau.

Cách 1: Diện tích tam giác ABC là:
S(ABC) = 1/2 AB . AC sin(BAC)
Diện tích tam giác AEF là:
S(AEF) = 1/2 AE . EF sin(EAF)
Chú ý rằng tam giác AFC và AEB đồng dạng với tam giác ABC.
Từ đó ta có:
AC/AB = AF/AE ⇒ AC = AF.AE/AB
sin(BAC) = sin(EAF)
Do đó:
S(AEF) = 1/2 AE . EF sin(BAC) = 1/2 AE . EF sin(EAF)
= 1/2 AE . EF sin(BAC) (do hai góc BAC và EAF bằng nhau)
= 1/2 AB . AC sin(BAC) (do AF = AC * AB/AE, BD = AE - EF = AE - AC * sin(BAC))
Suy ra ∆ABC = ∆AEF

Cách 2: Ta chứng minh rằng các tam giác AEF, AFB và AEC đều có cùng diện tích. Khi đó, diện tích của tam giác AEF sẽ bằng một nửa tổng diện tích của tam giác ABC.
Ta có:
S(AFB) = 1/2 AB . AF sin(FAB) (vì tam giác AFB là tam giác đều)
S(AEC) = 1/2 AC . AE sin(CAE) (vì tam giác AEC là tam giác đều)
Chú ý rằng hai góc FAB và CAE bằng nhau, do đó:
S(AFB) = S(AEC) ⇒ S(AFB) + S(AEC) = 1/2 AB . AF + 1/2 AC . AE
= 1/2 (AB . AC) (AF/AE + AE/AF) (theo định lý cosin trong tam giác AFC)
= 1/2 (AB . AC) (AB/AC + AC/AB) = 1/2 AB . AC (đúng vì đường cao AH cắt BC thành hai đoạn bằng nhau)
Ngoài ra, S(AEF) = 1/2 AE . EF sin(EAF)
= 1/2 AE . EF sin(BAC) (do hai góc BAC và EAF bằng nhau)
= 1/2 AB . AC sin(BAC) (do BD = AE - EF = AE - AC . sin(BAC))
Ta cũng có thể tính được diện tích của tam giác AEF bằng cách sử dụng định lý cosin trong tam giác AFC:
S(AEF) = 1/2 AE . EF sin(EAF)
= 1/2 AE . EF sin(CAB) (do AF / AC = AE / AB = cos(CAB))
= 1/2 AB . AC sin(CAB) = 1/2 AB . AC sin(BAC)
(do hai góc CAB và BAC bù trùng với nhau)
Vậy, S(AFB) = S(AEC) = S(AEF) và ta có ∆AEF = ∆ABC.