Để tìm bán kính lớn nhất của đường tròn cắt của (S) và (P), ta cần tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S) trước. Sau đó, ta xác định giao tuyến giữa (S) và (P) để tính bán kính của đường tròn và tìm ra các giá trị của tham số m để bán kính đó là lớn nhất.

Để tìm tâm của mặt cầu (S), ta chuyển phương trình của (S) về dạng chuẩn:

x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y + 4z - 1 = 0

Đặt h = -(-2) / 2 = 1, k = -(-2) / 2 = 1, l = 4 / 2 = 2, m = 1 / 2.
Ta có:

(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = r^2 + 7

Trong đó tâm của mặt cầu là điểm I(1, 1, 2) và bán kính của mặt cầu là: R = √(r^2 + 7)

Để tìm giao tuyến của (S) và (P), ta giải hệ phương trình:

{ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y + 4z - 1 = 0
{ x + y - z - m = 0

Thay x + y - z bằng m, ta có phương trình:

m^2 + 3z^2 - 4mz - 2m - 2z + 1 = 0

Để giao tuyến (nửa diện tích) giống như đường tròn có bán kính lớn nhất với (S), đường tròn này cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng (P) tại trung điểm M của tiếp tuyến AB của đường tròn chạm (S) qua A.

Vì trục Oxyz đối xứng về tâm I(1, 1, 2) nên điểm M phải nằm trên mặt phẳng P và điều này xảy ra khi M(2m/3, 2m/3, 2m/3 + m). Xác định AM bằng R là ta được:

[((m+1)^2)/(3m^2+5m+7)]^(1/2) * [ i+j+(2k+m)/(3m^2+5m+7)]

Chú ý rằng để (P) cắt (S) thành một đường tròn thì bán kính của nó phải lớn hơn bán kính của mặt cầu R, tức là:

[((m+1)^2)/(3m^2+5m+7)]^(1/2) > √(r^2 + 7)

Suy ra, m > -1. Ta có bán kính lớn nhất của đường tròn cắt (S) và (P) là:

√[((m + 1)^2)/(3m^2 + 5m + 7)] - √7

Vậy để tìm tất cả các giá trị của tham số m để (P) cắt (S) thành một đường tròn có bán kính lớn nhất, ta cần giải phương trình:

[((m+1)^2)/(3m^2+5m+7)]^(1/2) = √(r^2+7)

đồng thời thỏa mãn điều kiện m>-1.