Để giải phương trình vi phân bậc nhất này, ta sẽ sử dụng phương pháp phân rã thành tích của các hàm số và áp dụng công thức tổng quát để tính nguyên hàm. Trước hết, ta sẽ phân tích hàm số f(x) thành tích của hai hàm g(x) và h(x) như sau:

f(x) = g(x)h(x)

Ta chọn:

g(x) = x

h(x) = f(x)/x

Thay vào phương trình ban đầu, ta có:

xh(x)f'(x)g'(x) + g(x)h(x)^2 = x^2/2

Sử dụng tính chất tích đạo hàm, ta có:

h(x)f'(x) + hf(x)/x = x/2g(x)

Đặt y(x) = h(x)^2, ta có:

y'(x) = 2h(x)h'(x) = 2h(x)f(x)/x

Thay vào phương trình trên, ta được:

y'(x)/2 = x/2g(x)

Dễ dàng tính được nguyên hàm của cả hai vế phương trình:

∫ y'(x)/2 dx = ∫ x/2g(x) dx

⇔ y(x)/2 = ln|g(x)| + C

⇔ h(x)^2 = 2ln|x| + C'

⇔ h(x) = ± √(2ln|x| + C')

Vì f(1) = 2 nên:

h(1) = f(1) = 2

Ta có:

h(1) = ± √(2ln|1| + C') = ± √C'

Do đó, ta chọn dấu dương để hàm số h(x) liên tục trên khoảng (0, 2). Vì thế:

h(x) = √(2ln|x| + C')

Và:

f(x) = xh(x) = x√(2ln|x| + C')

Áp dụng điều kiện f(1) = 2, ta có:

2 = √(2ln|1| + C') ⇔ C' = 4

Vậy:

f(x) = x√(2ln|x| + 4)

Để tính giá trị f(2), ta chỉ cần thay x = 2 vào công thức trên:

f(2) = 2√(2ln|2| + 4) ≈ 5.441.