a) Ta cần chứng minh tam giác FHE đồng dạng tam giác BHC.
Gọi K, L, M lần lượt là chân đường cao của tam giác ABC từ A, B, C. Ta có:

- Góc EHF = góc BHC (cùng là góc giữa)
- Góc FHE = góc HCB (do hai tam giác FHE và BHC cân tại F và B)
- Hai tam giác có độ dài các cạnh theo thứ tự tương ứng như sau:
EF = BC x cos B
EH = BH x sin B
HC = BH x cos B
BH = AC x cos B
HB = BC x cos A
FC = BC x sin A
FB = AB x sin A
AB = AC x cos B
FA = AC x sin B
BA = BC x sin A

Từ đó, ta suy ra:
EF / EH = BC x cos B / (BH x sin B) = sin C / sin B
HC / HB = BH x cos B / (BC x cos A) = sin C / sin A
FC / FB = BC x sin A / (AB x sin A) = BC / AB
FA / FB = AC x sin B / (AB x sin A) = AC / AB

Do đó, theo định lí đồng dạng tam giác, ta có tam giác FHE đồng dạng với tam giác BHC.

b) Ta cần chứng minh rằng H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF.
Gọi O, P, Q lần lượt là giao điểm của đường phân giác trong tam giác DEF với cạnh tương ứng. Ta sẽ chứng minh rằng O, P, Q đều nằm trên đường cao AH.

- Gọi K', L', M' lần lượt là chân đường cao của tam giác DEF từ D, E, F.
- Từ hai tam giác DEF và ABC đồng dạng, ta suy ra:
KD / AD = LE / BE = MF / CF
KD / AF = LE / BF = MF / CF
Vậy, tam giác KDL đồng dạng tam giác AHB.
- Áp dụng quan hệ đồng dạng hai tam giác, ta có:
KO / OH = DL / LH
PO / OH = EL / LH
QO / OH = FM / MH
- Để chứng minh O, P, Q đều nằm trên đường cao AH, ta cần chứng minh:
(KO + PO + QO) / (3OH) = 1
⇔ (DL + EL + FM) / (3LH) = 1

Do đó, ta chỉ cần chứng minh DL + EL + FM = 3LH.

Xét tam giác ABC. Ta có:
BH^2 - CH^2 = AB^2 - AC^2
AB + AC = BC
Vì DH ⊥ AB, DH = BH x cos B
Vì EH ⊥ AC, EH = CH x cos C
Vì HF ⊥ BC, HF = BF x sin A
Vì AE ⊥ BC, AE = CE x sin A
Vì DF ⊥ BC, DF = CF x sin B
Vì AF ⊥ BC, AF = BF x cos A
Vì BE ⊥ AC, BE = CE x cos C

Suy ra:
DL + EL + FM
= DH x sin A / cos B + EH x sin A / cos C + CF x sin B / sin A
= BH cos A / cos B + CH cos A / cos C + CF sin B / sin A
= (BH^2 - CH^2) / (BC cos B cos C) + 2CF sin B / sin A
= (AB^2 - AC^2) / (BC cos B cos C) + 2BC sin B cos B / (2 sin A cos B)
= AB^2 / (BC cos B cos C) - AC