a) $\Delta ABF$ vuông tại $A$ ($\widehat{BAD}=90^\circ$, $ABCD$ là hình vuông).

$\Rightarrow\widehat{AFB}+\widehat{ABF}=90^\circ$ (tổng hai góc nhọn).

$H\in BF\Rightarrow\widehat{AFB}+\widehat{ABH}=90^\circ$.

$\Delta ABH$ vuông tại $H$ ($AH\,\bot\,BF$).

$\Rightarrow\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^\circ$ (tổng hai góc nhọn).

$\Rightarrow\widehat{AFB}+\widehat{ABH}=\widehat{ABH}+\widehat{BAH}$

$\Rightarrow\widehat{AFB}=\widehat{BAH}$ (cùng bỏ $\widehat{ABH}$).

Mà $H\in AM,E\in AB\Rightarrow\widehat{AFB}=\widehat{EAM}$.

$ABCD$ là hình vuông (giả thiết).

$\Rightarrow AB//CD$ (hai cạnh đối diện song song).

Mà $E\in AB,M\in CD\Rightarrow AE//MD$

$\Rightarrow\widehat{EAM}=\widehat{AMD}$ (cặp góc so le trong).

Mà $\widehat{EAM}=\widehat{AFB}\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{AFB}$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta AMD$ và $\Delta ABF$ có:

$AB=AD$ ($\Delta ABCD$ là hình vuông).

$\widehat{AMD}=\widehat{AFB}$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow\Delta AMD=\Delta ABF$ (cạnh huyền-góc nhọn).

$\Rightarrow AF=MD$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AE=AF\Rightarrow AE=MD$.

Xét tứ giác $AEMD$ ta có:

$AE//MD$ (chứng minh trên).

$AE=MD$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow AEMD$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mà $\widehat{DAE}=90^\circ$ ($ABCD$ là hình vuông).

$\Rightarrow AEMD$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) $AB=CD$ ($ABCD$ là hình vuông).

Mà $AE=MD\Rightarrow AB-AE=CD-MD\Rightarrow BE=CM$.

$AB//CD$ mà $E\in AB,M\in CD\Rightarrow BE//CM$.

Xét tứ giác $BEMC$ ta có:

$BE=CM$ (chứng minh trên).

$BE//CM$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow BEMC$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mà $\widehat{EBC}=90^\circ$ ($ABCD$ là hình vuông).

$\Rightarrow BEMC$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Đặt giao điểm $BM\cap CE=I$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $BM,CE$.

$I$ là trung điểm của $BM$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow HI$ là đường trung tuyến của $\Delta BMH$

Mà $\Delta BMH$ vuông tại $H\Rightarrow HI=\dfrac12BM$.

Mà $BM=CE$ ($BEMC$ là hình chữ nhật) $\Rightarrow HI=\dfrac12CE$

Và $HI$ là đường trung tuyến của $\Delta HCE$ ($I$ trung điểm $CE$).

$\Rightarrow \Delta HCE$ vuông tại $H\Rightarrow HE\,\bot\,HC$.