a) $AM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow BM=MC$.

$\Delta ABM$ có đường phân giác $MD$ ($D\in AB$).

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác có $\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AD}{BD}$.

$\Delta AMC$ có đường phân giác $ME$ ($E\in AC$).

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác có $\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AE}{CE}$.

Mà $BM=MC\Rightarrow\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AM}{MC}$

$\Rightarrow\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AE}{CE}$.

$\Delta ABC$ có $D\in AB,E\in AC$ và $\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AE}{CE}$

$\Rightarrow DE//BC$ (định lý Thales đảo).

b) Xét $\Delta ABM$ có $DI//BM$ ($I\in DE//BC,M\in BC$).

Theo hệ quả của định lý Thales ta có $\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{DI}{BM}$.

Xét $\Delta AMC$ có $IE//MC$ ($I\in DE//BC,M\in BC$).

Theo hệ quả của định lý Thales ta có $\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{IE}{MC}$.

$\Rightarrow\dfrac{DI}{BM}=\dfrac{IE}{MC}$ mà $BM=MC\Rightarrow DI=IE$.

c) $MD$ là đường phân giác của $\widehat{AMB}$

$\Rightarrow\widehat{AMD}=\dfrac12\widehat{AMB}$.

$ME$ là đường phân giác của $\widehat{AMC}$

$\Rightarrow\widehat{AME}=\dfrac12\widehat{AMC}$

$\Rightarrow\widehat{AMD}+\widehat{AME}=\dfrac12(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}$).

$\Rightarrow\widehat{DME}=\dfrac12\widehat{BMC}=\dfrac12\!\cdot\!180=90^\circ$

$\Rightarrow\Delta DME$ vuông tại $M$.

$I$ là trung điểm của $DE$ ($DI=IE$).

$\Rightarrow MI$ là đường trung tuyến của $\Delta DME$

Mà $\Delta DME$ vuông tại $M\Rightarrow MI=\dfrac12DE$.

Nếu $AM=DE$ thì $MI=\dfrac12AM$ và $I\in AM$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $AM$.

Xét tứ giác $ADME$ có:

$I$ là trung điểm của $DE$ (chứng minh trên).

$I$ là trung điểm của $AM$ (dữ kiện để điều kiện đúng).

$\Rightarrow ADME$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

$\Rightarrow\widehat{DME}=\widehat{ADE}$ (hai góc đối bằng nhau).

Mà $\widehat{DME}=90^\circ$ nên $\widehat{ADE}=90^\circ$.

$\Rightarrow\widehat{ABC}=90^\circ\Rightarrow\Delta ABC$ vuông tại $A$.

Vậy $\Delta ABC$ vuông tại $A$ thì $AM=DE$.

d) Nếu $MD=ME$ (giả thiết để điều kiện đúng)

$\Rightarrow\Delta DME$ cân tại $M$ (hai cạnh bên bằng nhau).

$\Delta DME$ cân tại $M$ có đường trung tuyến $MI$

$\Rightarrow MI$ cũng là đường cao $\Delta DME$.

$\Rightarrow MI\,\bot\,DE\Rightarrow AM\,\bot\,DE$ mà $DE//BC$

$\Rightarrow AM\,\bot\,BC$ (từ vuông góc đến song song đảo).

$\Rightarrow AM$ là đường cao của $\Delta ABC$.

Mà $AM$ cũng là đường trung tuyến của $\Delta ABC$

$\Rightarrow\Delta ABC$ cân (tính chất tam giác cân đảo).

Vậy $\Delta ABC$ cân thì $MD=ME$.