Đặt $w = a + bi\ \ (a;b\in\Bbb R)$

$\Rightarrow \overline{w} = a - bi$

Ta có:

$\quad |w - i^{2022}| - |i^{2023}\overline{w} - 1| = 0$

$\Leftrightarrow |w - (-1)| - |-i\overline{w} - 1| = 0$

$\Leftrightarrow |w + 1| - |\overline{w} - i| = 0$

$\Leftrightarrow |w + 1| = |\overline{w} - i|$

$\Leftrightarrow (a+1)^2 + b^2 = a^2 + (-b-1)^2$

$\Leftrightarrow a = b$

Do đó: $w = a + ai$

Đặt $z = x + yi\ \ (x;y\in\Bbb R)$

$\Rightarrow \overline{z} = x - yi$ và $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng phức

Ta có:

$\quad w = (z - i)(\overline{z} + i) + 2z - 3i$

$\Leftrightarrow a + ai = [x + (y-1)i][x - (y-1)i] + 2(x+yi) - 3i$

$\Leftrightarrow a + ai = x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 + (2y - 3)i$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = a\\2y - 3 = a\end{cases}$

$\Leftrightarrow (x+1)^2 + (y - 2)^2 = 1$

$\Rightarrow$ Tập hợp điểm $M$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(-1;2);\ R = 1$

Ta được:

$T = |z - 3 + i|^2 + |\overline{z} + 1 - 3i|^2 = MA^2 + MB^2$

với $A(3;-1);\ B(-1;-3)$

$\Rightarrow IA;\ IB > R \Rightarrow A;B$ nằm ngoài $(C)$

Gọi $H$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow \begin{cases}H(1;-2)\\\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{0}\end{cases}$

$\Rightarrow IH = 2\sqrt5 > R \Rightarrow H$ nằm ngoài $(C)$

Ta được:

$\quad MA^2 + MB^2 = 2MH^2 + HA^2 + HB^2$

Do đó: $MA^2 + MB^2$ lớn nhất khi $MH$ lớn nhất

$\Leftrightarrow MH_{\max} = IH + R = 1 + 2\sqrt5$

Khi đó:

$\left(MA^2 + MB^2\right)_{\max} = 2\left(1 + 2\sqrt5\right)^2 + 10$

$\Leftrightarrow T_{\max} = 52 + 8\sqrt5$

$\Rightarrow \begin{cases}m = 52\\n = 8\end{cases}$

$\Rightarrow m.n = 52.8$

$\Rightarrow P = 416$