Cho hàm số f (x) liên tục trên (0; +∞), f(x)>0, với mọi x >0 và f(x)-f"(x)=(x+1)f²(x), với mọi x>0.
Biết f (1)= 2. Tính f(3).
Quảng cáo
1 câu trả lời 338
$f(x)-f'(x)=(x+1)f^2(x)$
$\Rightarrow \dfrac{1}{f(x)}-\dfrac{f'(x)}{f^2(x)}=x+1$
$\Rightarrow \dfrac{1}{f(x)}+\left[ \dfrac{1}{f(x)}\right]'=x+1$
$\Rightarrow e^x\dfrac{1}{f(x)}+e^x\left[ \dfrac{1}{f(x)}\right]'=e^x(x+1)$
$\Rightarrow \left[ e^x.\dfrac{1}{f(x)}\right]'=e^x(x+1)$
$\Rightarrow \dfrac{e^x}{f(x)}=\displaystyle\int e^x(x+1)dx$
Xét $I=\displaystyle\int e^x(x+1)dx$
Đặt $\begin{cases} u=x+1\\ dv=e^xdx\end{cases}$, khi đó $\begin{cases} du=dx\\ v=e^x\end{cases}$
$I=e^x(x+1)-\displaystyle\int e^xdx$
$=e^x(x+1)-e^x+C$
$=x e^x+C$
$\Rightarrow \dfrac{e^x}{f(x)}=x e^x+C$
Thay $x=1$ ta có:
$\dfrac{e}{2}=e+C$
$\Rightarrow C=\dfrac{-e}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{e^x}{f(x)}=x e^x-\dfrac{e}{2}$
Thay $x=3$ ta có:
$\dfrac{e^3}{f(3)}=3e^3-\dfrac{e}{2}$
$\Rightarrow f(3)=\dfrac{2e^3}{6e^3-e}=\dfrac{2e^2}{6e^2-1}$
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
105514 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
95117 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
73289

