Let `a, b, c` be positive real numbers. Prove that:` frac{1}{a(a+b)}+ frac{1}{b(...

minmincinh

· 10:48 11/01/2023

Let `a, b, c` be positive real numbers. Prove that:
`\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\ge`$\dfrac{3}{2\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

3 năm trước

Ta sẽ dùng đến một bất đẳng thức có tên là bất đẳng thức hoán vị, ở đây mình sẽ chứng minh với hai bộ ba số.

Với `x_1<=x_2<=x_3` và `y_1>=y_2>=y_3` và `(z_1;z_2;z_3)` là hoán vị của `(x_1;x_2;x_3)`, có:

`z_1y_1+z_2y_2+z_3y_3>=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3`

Thật vậy, ta có:

`z_1y_1+z_2y_2+z_3y_3`

`=(y_1-y_2)z_1+(y_2-y_3)(z_1+z_2)+y_3(z_1+z_2+z_3)`

`>=(y_1-y_2)x_1+(y_2-y_3)(x_1+x_2)+y_3(x_1+x_2+x_3)`

`=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3`

Áp dụng vào bài, giả sử `a>=b>=c`, ta có:

`1/a<=1/b<=1/c`

`1/(b+c)>=1/(c+a)>=1/(a+b)`

`->1/(b(b+c))+1/(c(c+a))+1/(a(a+b))>=1/(a(b+c))+1/(b(c+a))+1/(c(a+b))`

`->2[1/(b(b+c))+1/(c(c+a))+1/(a(a+b))]>=1/(b(b+c))+1/(c(c+a))+1/(a(a+b))+1/(a(b+c))+1/(b(c+a))+1/(c(a+b))`

`->2[1/(b(b+c))+1/(c(c+a))+1/(a(a+b))]>=(b+a)/(ba(b+c))+(b+c)/(bc(c+a))+(a+c)/(ac(a+b))>=3\root{3}{1/(abc)^2}`

`->1/(b(b+c))+1/(c(c+a))+1/(a(a+b))>=3/(2\root{3}{a^2b^2c^2})`

`->đpcm`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c=1`

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?