Cho `a,b,c` là ba số thực dương, chứng mình rằng:` frac{a^2}{a^3+(b+c)^3}+ frac{...

aferray

· 10:47 11/01/2023

Cho `a,b,c` là ba số thực dương, chứng mình rằng:
`\frac{a^2}{a^3+(b+c)^3}+\frac{b^2}{b^3++(a+c)^3}+\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}\ge \frac{1}{a+b+c}`

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

3 năm trước

Viết lại bất đẳng thức thành:

`(a^2(a+b+c))/(a^3+(b+c)^3)+(b^2(a+b+c))/(b^3+(a+c)^3)+(c^2(a+b+c))/(c^3+(a+b)^3)>=1`

Xét: `(a^2(a+b+c))/(a^3+(b+c)^3)`

`=(a^3+a^2(b+c))/(a^3+(b+c)^3)`

`=((a/(b+c))^3+(a/(b+c))^2)/((a/(b+c))^3+1)`

Đặt `a/(b+c)=x`

`->(a^2(a+b+c))/(a^3+(b+c)^3)=(x^3+x^2)/(x^3+1)=x^2/(x^2-x+1)=1-(1-x)/(x^2-x+1)=1-(1-x)/((x-1/2)^2+3/4)>=1-(1-x)/(3/4)`

Tương tự, có:

`(a^2(a+b+c))/(a^3+(b+c)^3)+(b^2(a+b+c))/(b^3+(a+c)^3)+(c^2(a+b+c))/(c^3+(a+b)^3)>=3-(1-x+1-y+1-z)/(3/4)=4/3(x+y+z)-1`

Vậy ta cần chứng minh: `4/3(x+y+z)-1>=1`

hay `x+y+z>=3/2`

mà đây chính là bất đẳng thức Nesbitt có dạng `a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=3/2 `

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c`

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?