If `a,b,c>0` such that `a+b+c=1` Prove the inequality:` frac{1}{1+a^2}+ frac{...

native

· 10:46 11/01/2023

If `a,b,c>0` such that `a+b+c=1`
Prove the inequality:
`\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\leq\frac{27}{10}`

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

3 năm trước

Vì `a,b,c>0,a+b+c=1->0<a,b,c<1`

Trước hết ta chứng minh

`1/(1+a^2) <= (-27)/50 a+27/25 (0<a<1)`

`<=>1/(1+a^2) <= (-27a+54)/50 `

`<=>(-27a+54)(1+a^2) >=50 `

`<=>(4-3a)(3a-1)^2>=0` Luôn đúng `AAa` sao cho `0<a<1`

`->1/(1+a^2) <= (-27)/50 a+27/25`

Hoàn toàn tương tự:

`->1/(1+b^2) <= (-27)/50 b+27/25,1/(1+c^2) <= (-27)/50 c+27/25`

Cộng vế ta có

`1/(1+a^2)+1/(1+b^2)+1/(1+c^2)<=(-27)/50 a+27/25+(-27)/50 b+27/25+(-27)/50 c+27/25`

`<=>1/(1+a^2)+1/(1+b^2)+1/(1+c^2)<=(-27)/50( a+b+c)+27/25 .3=-27/50+81/25=27/10`

`->VT<=27/10`

`->` đpcm

Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c=1/3`

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?