$\cos^2x - 2\cos x + 3 = m\qquad (1)$

Đặt $t = \cos x$

$x \in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\longrightarrow t \in [0;1]$

Phương trình trở thành:

$t^2 - 2t + 3 - m = 0\qquad (2)$

$(1)$ có nghiệm thuộc $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$

$\to (2)$ có nghiệm thuộc $[0;1]$

$\to (2)$ có một nghiệm hoặc hai nghiệm thuộc $[0;1]$

$\to \left[\begin{array}{l}f(0).f(1)\leq 0\\\begin{cases}\Delta_{(2)}' \geq 0\\af(0)\geq 0\\af(1)\geq 0\\0 \leq \dfrac S2\leq 1\end{cases}\end{array}\right.$

$\to \left[\begin{array}{l}(3-m)(2-m)\leq 0\\\begin{cases}1-(3-m) \geq 0\\3-m\geq 0\\2-m\geq 0\\0 \leq 1\leq 1\end{cases}\end{array}\right.$

$\to \left[\begin{array}{l}2\leq m \leq 3\\\begin{cases}m \geq 2\\m \leq 3\\m\leq 2\end{cases}\end{array}\right.$

$\to \left[\begin{array}{l}2\leq m \leq 3\\m = 2\end{array}\right.$

$\to 2 \leq m \leq 3$

Vậy $m\in [2;3]$