I. Trắc nghiệm (2 điểm): Khoanh vào chữ cái đặt trước câu trả lời đúng.

Câu 1: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn?

A. 0x + 25 = 0;

B. $\frac{x}{x^2-8}=0$;

C. x + y = 0;

D. $5x+\frac{1}{3}=0$.

Câu 2: Tập nghiệm của phương trình x² – x = 0 là:

A. S ={0};

B. S = {0; 1};

C. S = {1};

D. Một kết quả khác.

Câu 3: Bất đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. (−5) . 3 ≤ 16;

B. (−5) + 3 ≥ 1;

C. 15 + (−3) ≥ 18 + (−3);

D. 5 . (−2) ≤ 7 . (−2).      

Câu 4: Nếu ∆ABC đồng dạng với ∆A’B’C’ theo tỉ số k thì ∆A’B’C’ đồng dạng với ∆ABC theo tỉ số nào?

A. $\frac{1}{k}$;

B. – k;                       

C. $\frac{-1}{k}$;

D. 1.

Câu 5: Nếu a < b thì $2a+1\boxed{}2b+1$. Dấu thích hợp điền vào ô trống là:

A. ≥

B. ≤

C. <

D. >

Câu 6: Hình hộp chữ nhật có chiều dài bằng 5 cm, chiều rộng bằng 3 cm, chiều cao bằng 4 cm thì có thể tích là:

A. 12 cm³;

B. 48 cm³;

C. 24 cm³.

D. 60 cm³;

II. Tự luận:

Bài 1 (3 điểm): Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) 2x – 3 = 0;

b) $\frac{x+3}{5}<\frac{5-x}{3}$;

c) $\frac{1}{x-1}-\frac{3}{x-2}=\frac{-1}{(x-1)(x-2)}$.

Bài 2 (1,5 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình.

Một xe máy và một ô tô cùng khởi hành từ tỉnh A đi đến tỉnh B. Xe máy đi với vận tốc 30 km/h, ô tô đi với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được nửa quãng đường AB, ô tô tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đường còn lại, do đó nó đến tỉnh B sớm hơn xe máy 1 giờ 10 phút. Tính độ dài quãng đường AB.

Bài 3 (2 điểm): Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh ∆AEB đồng dạng với ∆AFC. Từ đó suy ra AF . AB = AE . AC.

b) Chứng minh: $\widehat{\mathrm{AEF}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$.

c) Cho AE = 3 cm, AB = 6 cm. Chứng minh rằng S_ABC = 4S_AEF.

Bài 4 (1,5 điểm): Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông theo các kích thước ở hình sau:

Đáp án đề thi Học kì 2 môn Toán 8 - Đề số 10

I. Trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn?

A. 0x + 25 = 0;

B. $\frac{x}{x^2-8}=0$;

C. x + y = 0;

D. $5x+\frac{1}{3}=0$.

Giải thích:

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0.

Xét các phương trình ở các đáp án A, B, C, D:

• Phương trình 0x + 25 = 0 có hệ số a = 0 nên không phải là phương trình bậc nhất một ẩn.

• Phương trình $\frac{x}{x^2-8}=0$ không có dạng ax + b = 0 nên không phải là phương trình bậc nhất một ẩn.

• Phương trình x + y = 0 có chứa hai ẩn x và y nên không phải là phương trình bậc nhất một ẩn.

• Phương trình $5x+\frac{1}{3}=0$ có dạng ax + b = 0 (với a = 5 ≠ 0 và $b=\frac{1}{3}$) nên phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn.

Vậy chọn đáp án D.

Câu 2: Tập nghiệm của phương trình x² – x = 0 là:

A. S ={0};

B. S = {0; 1};

C. S = {1};

D. Một kết quả khác.

Giải thích:

Ta có: x² – x =  0

$\iff$ x(x – 1) = 0

$\iff$ x = 0 hoặc x – 1 = 0

$\iff$ x = 0 hoặc x = 1.

Do đó tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {0; 1}.

Vậy chọn đáp án B.

Câu 3: Bất đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. (−5) . 3 ≤ 16;

B. (−5) + 3 ≥ 1;

C. 15 + (−3) ≥ 18 + (−3);

D. 5 . (−2) ≤ 7 . (−2).

Giải thích:

Xét các bất đẳng thức ở các đáp án A, B, C, D, ta được:

• Ta có: (−5) . 3 = −15 ≤ 16. Do đó, đáp án A đúng.

• Ta có: (−5) + 3 = −2 < 1. Do đó, đáp án B sai.

• Ta có: 15 + (−3) = 15 – 3 = 12; 18 + (−3) = 18 – 3 = 15.

Vì 12 < 15 nên 15 + (−3) < 18 + (−3).

Do đó, đáp án C sai.

• Ta có: 5 . (−2) = − 10; 7 . (−2) = − 14.

Vì – 10 > − 14 nên 5 . (−2) > 7 . (−2).

Do đó, đáp án D sai.

Vậy chọn đáp án A.

Câu 4: Nếu ∆ABC đồng dạng với ∆A’B’C’ theo tỉ số k thì ∆A’B’C’ đồng dạng với ∆ABC theo tỉ số nào?

A. $\frac{1}{k}$;

B. – k;                       

C. $\frac{-1}{k}$;

D. 1.

Giải thích:

Ta có: ∆ABC $∾$ ∆A’B’C’ theo tỷ số đồng dạng k.

Hay $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}=\mathrm{k}$.

Suy ra ∆A’B’C’ $∾$ ∆ABC theo tỷ số đồng dạng $\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{\mathrm{k}}$.

Vậy chọn đáp án A.

Câu 5: Nếu a < b thì $2a+1\boxed{}2b+1$. Dấu thích hợp điền vào ô trống là:

A. ≥

B. ≤

C. <

D. >

Giải thích:

Ta có: a < b

$\iff$ 2a < 2b

$\iff$ 2a + 1 < 2b + 1.

Do đó dấu cần điền vào ô trống là <.

Vậy chọn đáp án C.

Câu 6: Hình hộp chữ nhật có chiều dài bằng 5 cm, chiều rộng bằng 3 cm, chiều cao bằng 4 cm thì có thể tích là:

A. 12 cm³;

B. 48 cm³;

C. 24 cm³.

D. 60 cm³;

Giải thích:

Thể tích của hình hộp chữ nhật là:

5 . 3 . 4 = 60 (cm³).

Vậy chọn đáp án D.

II. Tự luận:

Bài 1 (3 điểm):

a) 2x – 3 = 0

$\iff$ 2x = 3

$\iff x=\frac{3}{2}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left\{\frac{3}{2}\right\}$.

b) $\frac{x+3}{5}<\frac{5-x}{3}$

$\iff \frac{3(x+3)}{15}<\frac{5(5-x)}{15}$

$\iff$3(x + 3) < 5(5 – x)

$\iff$3x + 9 < 25 – 5x

$\iff$3x + 5x < 25 – 9

$\iff$8x < 16

$\iff$x < 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x | x < 2}.

c) $\frac{1}{x-1}-\frac{3}{x-2}=\frac{-1}{(x-1)(x-2)}$.

ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}x-1\ne 0\\ x-2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne 2\end{array}\right.$

Phương trình đã cho tương đương:

$\frac{x-2}{(x-1)(x-2)}-\frac{3(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{-1}{(x-1)(x-2)}$

Suy ra: x – 2 – 3(x – 1) = –1

 $\iff$x – 2 – 3x + 3 = –1

 $\iff$x – 3x = –1 + 2 – 3

 $\iff$– 2x = – 2

 $\iff$x = 1 (không ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 2 (1,5 điểm): 

Gọi x là độ dài quãng đường AB (km) (x > 0).

Đổi 1 giờ 10 phút = $\frac{7}{6}$ giờ.

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là $\frac{x}{30}$ (giờ).

Thời gian ô tô đi nửa đầu quãng đường AB là: $\frac{x}{2}:40=\frac{x}{80}$ (giờ).

Vận tốc ô tô trên nửa sau quãng đường AB là: 40 + 5 = 45 (km/h).

Thời gian ô tô đi nửa sau quãng đường AB là: $\frac{x}{2}:45=\frac{x}{90}$ (giờ).

Do ô tô đến tỉnh B sớm hơn xe máy 1 giờ 10 phút nên ta có phương trình:

$\frac{x}{30}=\frac{x}{80}+\frac{x}{90}+\frac{7}{6}$

$\iff \frac{24x}{720}=\frac{9x}{720}+\frac{8x}{720}+\frac{840}{720}$

 $\iff$24x = 9x + 8x + 840

 $\iff$24x – 9x – 8x = 840

 $\iff$7x = 840

 $\iff$x = 120 (TMĐK).

Vậy độ dài quãng đường AB là 120 km.

Bài 3 (2 điểm):

a) Xét ∆AEB và ∆AFC có:

$\widehat{\mathrm{AEB}}=\widehat{\mathrm{AFC}}={90}^{\mathrm{o}}$;

$\widehat{\mathrm{EAF}}$ chung.

Do đó: ∆AEB $∾$ ∆AFC (g.g).

Suy ra: $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AF}}$ hay AF . AB = AE . AC.

b) Xét ∆AEF và ∆ABC có:

$\widehat{\mathrm{EAF}}$ chung;

$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}$ (do $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AF}}$).      

Do đó: ∆AEF $∾$ ∆ABC (c.g.c).

Suy ra: $\widehat{\mathrm{AEF}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$ (hai góc tương ứng).

c) Từ câu b: ∆AEF $∾$ ∆ABC nên $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Suy ra $\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AE}{AB}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$.

Do đó S_ABC = 4S_AEF.

Bài 4 (1,5 điểm):

Xét ∆ABC vuông tại A, áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

BC² = AB² + AC² = 4² + 3² = 25.

Suy ra: BC = 5 cm.

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là:

S_xq = (3 + 4 + 5) . 9 = 108 (cm²).

Diện tích đáy của hình lăng trụ đứng là:

$S_{đ}=\frac{1}{2}.3.4=6$ (cm²).

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là:

S_tp = S_xq + S_2đ = 108 + 2 . 6 = 120 (cm²).

Thể tích của hình lăng trụ đứng là:

V = S_đ . h = 6 . 9 = 54 (cm³).

Vậy hình lăng trụ đứng có diện tích toàn phần là 120 cm² và thể tích là 54 cm³.