A - TỨ GIÁC AECF LÀ HÌNH BÌNH HÀNH

+ Có: ABCD là hình bình hành (gt)

          2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (gt)

⇒ O là trung điểm AC và BD (t/c)

⇒ OB = OD = OA = OC 

+ Lại có:

OE = 12OB (E là t.điểm OB)OF = 12OD (F là t.điểm OD)OB = OD (cmt)⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⇒ OE = OFOE = 12OB (E là t.điểm OB)OF = 12OD (F là t.điểm OD)OB = OD (cmt)}⇒ OE = OF

+ Xét tứ giác AECF có:

O là t.điểm EF (OE = OF - cmt)O là t.điểm AC (cmt)EF ∩ AC tại O⎫⎪⎬⎪⎭⇒ AECF là hình bình hành (DHNB)O là t.điểm EF (OE = OF - cmt)O là t.điểm AC (cmt)EF ∩ AC tại O}⇒ AECF là hình bình hành (DHNB)

B - CM: AH = CK

+ Có: ABCD là hình bình hành (gt)

⇒ AB // CD (đ/n)

hay AK // CH ( K ∈ AB; H ∈ CD)

+ Lại có: AECF là hình bình hành (cmt)

⇒ AF // EC (đ/n)

hay AH // CK (H ∈ AF; K ∈ EC)

+ Xét tứ giác AKCH có:

AK // CH (cmt)AH // CK (cmt)}⇒ AKCH là hình bình hành (DHNB)AK // CH (cmt)AH // CK (cmt)}⇒ AKCH là hình bình hành (DHNB)⇒ AH = KC (t/c)⇒ AH = KC (t/c)

C−CM:DI=2IC

Có: AH // CK (cmt)OI // CK (gt)}=> AH // OI // CK (t/c 3 đg thẳng song song)AH // CK (cmt)OI // CK (gt)}=> AH // OI // CK (t/c 3 đg thẳng song song) 

+ Xét ΔODI có:

F là trung điểm OD (cmt)FH // OI (hay AH // OI)}=> H là trung điểm DI (t/c)F là trung điểm OD (cmt)FH // OI (hay AH // OI)}=> H là trung điểm DI (t/c)=> DH = HI=> DH = HI

+ Xét ΔAHC có:

O là trung điểm AC (cmt)OI // AH (cmt)}=> I là trung điểm HC (t/c)O là trung điểm AC (cmt)OI // AH (cmt)}=> I là trung điểm HC (t/c)=> HI = IC => HI = IC 

+ Có:HI = IC (cmt)DH = HI (cmt)}=> HI = IC = DH HI = IC (cmt)DH = HI (cmt)}=> HI = IC = DH 

⇒ DI = DH + HI = 2IC (đpcm)