Bài 1.
Đề bài: Cho tam giác ABCABCABC có AB=12 cmAB = 12\,cmAB=12cm, AC=18 cmAC = 18\,cmAC=18cm.
Gọi HHH là chân đường vuông góc kẻ từ BBB đến tia phân giác của góc ∠A\angle A∠A.
Gọi MMM là trung điểm của BCBCBC.
Tính độ dài HMHMHM.

Giải:
Bước 1: Gọi I là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC.

Vì I nằm trên tia phân giác góc A, nên theo định lý phân giác trong tam giác ta có:

BICI=ABAC=1218=23\frac{BI}{CI} = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}CIBI​=ACAB​=1812​=32​Gọi AIAIAI là tia phân giác của ∠A\angle A∠A. HHH là chân đường vuông góc từ BBB tới AIAIAI, tức là BH⊥AIBH \perp AIBH⊥AI, H∈AIH \in AIH∈AI.

Bước 2: Sử dụng hệ tọa độ để giải bài toán

Giải bằng tọa độ là cách nhanh và hiệu quả nhất với bài này.

Đặt hệ trục tọa độ như sau:

Gọi A(0,0)A(0,0)A(0,0)
Gọi B(12,0)⇒AB=12B(12,0) \Rightarrow AB = 12B(12,0)⇒AB=12
Vì AC=18AC = 18AC=18, giả sử C(0,18)C(0,18)C(0,18)
→ Tam giác ABC vuông tại A chỉ là một cách chọn thuận lợi để dễ tính, không ảnh hưởng đến bản chất hình học.

Tính tọa độ điểm I (trên tia phân giác của góc A):
Dùng công thức tọa độ điểm chia đoạn theo tỉ số:

I=AC⋅B+AB⋅CAB+AC=18⋅(12,0)+12⋅(0,18)30I = \frac{AC \cdot B + AB \cdot C}{AB + AC} = \frac{18 \cdot (12,0) + 12 \cdot (0,18)}{30}I=AB+ACAC⋅B+AB⋅C​=3018⋅(12,0)+12⋅(0,18)​ =(216,0)+(0,216)30=(216,216)30=(7.2,7.2)= \frac{(216, 0) + (0, 216)}{30} = \frac{(216, 216)}{30} = (7.2, 7.2)=30(216,0)+(0,216)​=30(216,216)​=(7.2,7.2)Vậy I(7.2,7.2)I(7.2, 7.2)I(7.2,7.2) là điểm nằm trên tia phân giác góc A.

Tính tọa độ điểm H là chân đường vuông góc từ B đến AI
Gọi B(12,0)B(12,0)B(12,0), AIAIAI là đường đi qua A(0,0) và I(7.2,7.2), nên có vector chỉ phương là u⃗=(7.2,7.2)\vec{u} = (7.2, 7.2)u=(7.2,7.2)

→ vector pháp tuyến n⃗=(−7.2,7.2)\vec{n} = (-7.2, 7.2)n=(−7.2,7.2)

Phương trình đường thẳng AIAIAI:
Vì qua gốc tọa độ và có vector chỉ phương (1,1) → phương trình:

y=xy = xy=xViết phương trình đường vuông góc đi qua B(12,0)B(12,0)B(12,0) và vuông góc với y=xy = xy=x:
→ có dạng y=−x+my = -x + my=−x+m. Thay tọa độ B(12,0)B(12,0)B(12,0):

0=−12+m⇒m=12⇒Phương trıˋnh BH: y=−x+120 = -12 + m \Rightarrow m = 12 \Rightarrow \text{Phương trình BH: } y = -x + 120=−12+m⇒m=12⇒Phương trıˋnh BH: y=−x+12Tìm giao điểm H của y=xy = xy=x và y=−x+12y = -x + 12y=−x+12:

x=−x+12⇒2x=12⇒x=6⇒y=6⇒H(6,6)x = -x + 12 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow H(6,6)x=−x+12⇒2x=12⇒x=6⇒y=6⇒H(6,6)
Tính tọa độ M – trung điểm của BC
B(12,0),C(0,18)⇒M=(12+02,0+182)=(6,9)B(12,0), C(0,18) \Rightarrow M = \left( \frac{12+0}{2}, \frac{0+18}{2} \right) = (6,9)B(12,0),C(0,18)⇒M=(212+0​,20+18​)=(6,9)

Tính độ dài HMHMHM
H(6,6),M(6,9)⇒vıˋ cuˋng hoaˋnh độ, khaˊc tung độ → đoạn thẳng thẳng đứng:H(6,6), M(6,9) \Rightarrow \text{vì cùng hoành độ, khác tung độ → đoạn thẳng thẳng đứng:}H(6,6),M(6,9)⇒vıˋ cuˋng hoaˋnh độ, khaˊc tung độ → đoạn thẳng thẳng đứng:

HM=∣9−6∣=3 cmHM = |9 - 6| = \boxed{3\,cm}HM=∣9−6∣=3cm​
✅ Đáp án bài 1: HM=3 cm\boxed{HM = 3\,cm}HM=3cm​

Bài 2.
Tóm tắt đề:

Cho tam giác ABCABCABC
Lấy điểm DDD trên tia đối của BCBCBC sao cho BD=BABD = BABD=BA
Lấy điểm EEE trên tia đối của CBCBCB sao cho CE=CACE = CACE=CA
Gọi BH⊥ADBH \perp ADBH⊥AD tại H
Gọi CK⊥AECK \perp AECK⊥AE tại K
a) Chứng minh AH=HDAH = HDAH=HD
b) Chứng minh HK∥BCHK \parallel BCHK∥BC

Phân tích bài toán:
Ta sẽ dùng phép đối xứng và tam giác cân để giải.

Vì BD=BABD = BABD=BA nên tam giác ABDABDABD cân tại BBB

→ Gọi HHH là chân đường vuông góc từ BBB xuống ADADAD, thì do tam giác cân, HHH là trung điểm của ADADAD

→ Suy ra: AH=HDAH = HDAH=HD

a) Chứng minh AH=HDAH = HDAH=HD
Như phân tích trên:

BD=BA⇒△ABDBD = BA \Rightarrow \triangle ABDBD=BA⇒△ABD cân tại B
BH⊥AD⇒BHBH \perp AD \Rightarrow BHBH⊥AD⇒BH là trung tuyến, đồng thời là đường cao → HHH là trung điểm của ADADAD
→ AH=HD\boxed{AH = HD}AH=HD​

b) Chứng minh HK∥BCHK \parallel BCHK∥BC
Tương tự như trên, do CE=CA⇒△ACECE = CA \Rightarrow \triangle ACECE=CA⇒△ACE cân tại C
→ CK⊥AE⇒KCK \perp AE \Rightarrow KCK⊥AE⇒K là trung điểm của AEAEAE

→ H,KH, KH,K lần lượt là trung điểm của AD,AEAD, AEAD,AE

⇒ Đoạn HKHKHK là đường trung bình của tam giác DAEDAEDAE

Mà BCBCBC nối 2 đỉnh của tam giác ban đầu, còn D và E là các điểm đối xứng qua B và C

→ Suy ra HK∥BCHK \parallel BCHK∥BC

→ HK∥BC\boxed{HK \parallel BC}HK∥BC​

✅ Tổng kết đáp án:
Bài 1:
HM=3 cm\boxed{HM = 3\,cm}HM=3cm​Bài 2:
a) AH=HD\boxed{AH = HD}AH=HD​
b) HK∥BC\boxed{HK \parallel BC}HK∥BC​