Bài toán: Độ cao khi động năng bằng  lần thế năng
Phân tích bài toán
Xét một vật có khối lượng m được thả rơi tự do từ độ cao h so với mặt đất. Trong quá trình rơi: - Thế năng của vật tại độ cao h là:

trong đó g là gia tốc trọng trường. - Tại một độ cao h', thế năng và động năng liên hệ với nhau:

Thiết lập phương trình
Tổng cơ năng của vật trong quá trình rơi được bảo toàn và không đổi. Cơ năng W được tính như sau:

Cơ năng ban đầu khi vật ở độ cao h là:

Tại một độ cao h', thế năng Wt và động năng W_d được viết lại như sau:

• Thế năng:
  
• Động năng:
  

Theo đề bài, động năng bằng  lần thế năng:

Thay các biểu thức vào, ta có:

Giải phương trình
Rút gọn mg (do mg > 0), ta thu được:

Giải phương trình:

Rút h':

Kết luận
Khi động năng bằng  lần thế năng, vật ở độ cao:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa về động năng (K) và thế năng (U) của một vật rơi tự do.

1. Công thức thế năng (U):
$U = mgh$
Trong đó:
- $m$ là khối lượng của vật.
- $g$ là gia tốc trọng trường (khoảng $9.81\ m/s^2$).
- $h$ là độ cao so với mặt đất.

2. Công thức động năng (K):
$K = \frac{1}{2}mv^2$
Trong đó $v$ là vận tốc của vật.

Khi vật được thả rơi tự do từ độ cao $h$, ở trạng thái ban đầu, toàn bộ năng lượng của vật là thế năng. Khi vật rơi và đạt đến một độ cao nào đó $h_1$, thế năng và động năng sẽ thay đổi:

- Thế năng tại độ cao $h_1$:
$U_1 = mg h_1$
- Động năng tại độ cao $h_1$ (vận tốc $v$ tại độ cao $h_1$ có thể tính từ định luật bảo toàn năng lượng):
$K_1 = mg(h - h_1)$

Theo đề bài, khi động năng bằng $\frac{1}{2}$ lần thế năng, ta có:
$K_1 = \frac{1}{2} U_1$

Thay thế các công thức vào:
$mg(h - h_1) = \frac{1}{2} (mg h_1)$

Nhân cả hai vế với $2$ và bỏ $mg$ (giả sử $m \neq 0$):
$2(h - h_1) = h_1$

Giải phương trình này:
$2h - 2h_1 = h_1$
$2h = 3h_1$
$h_1 = \frac{2h}{3}$

Vậy khi động năng bằng $\frac{1}{2}$ lần thế năng, vật ở độ cao bằng $\frac{2}{3}h$ so với mặt đất.