Giải:
Chọn gốc thế năng tại mặt đất

a Tính độ cao h:

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại điểm ném và điểm chạm đất: Wđ1 + Wt1 = Wđ2 + Wt2 ⇒ 0,5mv₁² + mgh = 0,5mv₂² ⇒ h = (v₂² v₁²)/(2g) = (30² 20²)/(210) = 25m
b Tính độ cao cực đại H:

Tại độ cao cực đại, vận tốc của vật bằng 0 Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại điểm ném và điểm cao nhất: 0,5mv₁² + mgh = mgH ⇒ H = h + v₁²/(2g) = 25 + 20²/(210) = 45m
c Tính vận tốc khi động năng bằng 3 lần thế năng:

Khi động năng bằng 3 lần thế năng, ta có: Wđ = 3Wt ⇒ 0,5mv² = 3mgh' ⇒ v² = 6gh'
Mặt khác, theo định luật bảo toàn cơ năng: 0,5mv₁² + mgh = 0,5mv² + mgh' ⇒ v₁² + 2gh = v² + 2gh' ⇒ v² = v₁² + 2g(h h') ⇒ 6gh' = v₁² + 2g(h h') Giải phương trình trên ta tìm được h'
Sau khi tìm được h', thay vào biểu thức v² = 6gh' để tính v
Kết luận:

Độ cao ban đầu h = 25m
Độ cao cực đại H = 45m
Vận tốc của vật khi động năng bằng 3 lần thế năng có thể tính được bằng cách giải hệ phương trình trên

Chọn gốc thế năng tại mặt đấtChọn gốc thế năng tại mặt đất

Gọi A là vị trí némGọi A là vị trí ném

Cơ năng tại ACơ năng tại A

WA=12mv2A+mgh=12.m.202+m.10.h(J)WA=12mvA2+mgh=12.m.202+m.10.h(J)

Cơ năng tại mặt đấtCơ năng tại mặt đất

W1=12mv21=12m.302(J)W1=12mv12=12m.302(J)

Định luật bảo toàn cơ năngĐịnh luật bảo toàn cơ năng

WA=W1WA=W1

→12.m.202+10.m.h=12.m.302→12.m.202+10.m.h=12.m.302

→h=15m→h=15m

Gọi B là vị trí vật đạt độ cao cực đạiGọi B là vị trí vật đạt độ cao cực đại

Cơ năng tại BCơ năng tại B

WB=mghmax=10.m.hmaxWB=mghmax=10.m.hmax

Định luật bảo toàn cơ năngĐịnh luật bảo toàn cơ năng

W1=WBW1=WB

→12.m.302=10.m.hmax→12.m.302=10.m.hmax

→hmax=45m→hmax=45m

Gọi C là vị trí mà vật có Wđ=3WtGọi C là vị trí mà vật có Wđ=3Wt

Cơ năng tại CCơ năng tại C

WC=WđC+WtC=WđC+WđC3=43WđC=43.12.m.v2C(J)WC=WđC+WtC=WđC+WđC3=43WđC=43.12.m.vC2(J)

Định luật bảo toàn cơ năngĐịnh luật bảo toàn cơ năng

WC=W1WC=W1

→43.12.m.v2C=12.m.302→43.12.m.vC2=12.m.302

→v=15√3(m/s)

Chọn gốc thế năng tại mặt đấtChọn gốc thế năng tại mặt đất

Gọi A là vị trí némGọi A là vị trí ném

Cơ năng tại ACơ năng tại A

WA=12mv2A+mgh=12.m.202+m.10.h(J)��=12���2+��ℎ=12.�.202+�.10.ℎ(�)

Cơ năng tại mặt đấtCơ năng tại mặt đất

W1=12mv21=12m.302(J)�1=12��12=12�.302(�)

Định luật bảo toàn cơ năngĐịnh luật bảo toàn cơ năng

WA=W1��=�1

→12.m.202+10.m.h=12.m.302→12.�.202+10.�.ℎ=12.�.302

→h=15m→ℎ=15�

Gọi B là vị trí vật đạt độ cao cực đạiGọi B là vị trí vật đạt độ cao cực đại

Cơ năng tại BCơ năng tại B

WB=mghmax=10.m.hmax��=��ℎ���=10.�.ℎ���

Định luật bảo toàn cơ năngĐịnh luật bảo toàn cơ năng

W1=WB�1=��

→12.m.302=10.m.hmax→12.�.302=10.�.ℎ���

→hmax=45m→ℎ���=45�

Gọi C là vị trí mà vật có Wđ=3WtGọi C là vị trí mà vật có �đ=3��

Cơ năng tại CCơ năng tại C

WC=WđC+WtC=WđC+WđC3=43WđC=43.12.m.v2C(J)��=�đ�+���=�đ�+�đ�3=43�đ�=43.12.�.��2(�)

Định luật bảo toàn cơ năngĐịnh luật bảo toàn cơ năng

WC=W1��=�1

→43.12.m.v2C=12.m.302→43.12.�.��2=12.�.302

→v=15√3(m/s)

Chúng ta hãy cùng giải từng phần của bài toán này một cách chi tiết:

### a. Độ cao \( h \)

Sử dụng công thức bảo toàn năng lượng để tìm độ cao \( h \).

Tổng năng lượng tại vị trí ném vật (vị trí ban đầu):
\[ E_{ban đầu} = \frac{1}{2}mV_0^2 + mgh \]

Tổng năng lượng tại vị trí chạm đất:
\[ E_{chạm đất} = \frac{1}{2}mV^2 \]

Vì bỏ qua sức cản không khí, tổng năng lượng cơ học được bảo toàn:
\[ \frac{1}{2}mV_0^2 + mgh = \frac{1}{2}mV^2 \]

Giản lược khối lượng \( m \) và giải phương trình:
\[ \frac{1}{2}V_0^2 + gh = \frac{1}{2}V^2 \]
\[ \frac{1}{2}(20)^2 + 10h = \frac{1}{2}(30)^2 \]
\[ 200 + 10h = 450 \]
\[ 10h = 250 \]
\[ h = 25 \text{m} \]

### b. Độ cao cực đại mà vật đạt được so với mặt đất

Độ cao cực đại \( H \) so với mặt đất là tổng của độ cao ban đầu \( h \) và độ cao thêm do vận tốc ban đầu \( V_0 \) sinh ra khi vật di chuyển lên đến đỉnh:

\[ H = h + \frac{V_0^2}{2g} \]

Với \( V_0 = 20 \, \text{m/s} \) và \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \):
\[ H = 25 + \frac{(20)^2}{2 \times 10} \]
\[ H = 25 + \frac{400}{20} \]
\[ H = 25 + 20 \]
\[ H = 45 \text{m} \]

### c. Vận tốc của vật khi động năng bằng 3 lần thế năng

Gọi vận tốc của vật tại thời điểm đó là \( V_1 \) và độ cao tại thời điểm đó là \( h_1 \).

Khi động năng bằng 3 lần thế năng, ta có phương trình:
\[ \frac{1}{2}mV_1^2 = 3mgh_1 \]
\[ V_1^2 = 6gh_1 \]

Tổng năng lượng cơ học tại thời điểm ném vật (vị trí ban đầu) và tại độ cao \( h_1 \) được bảo toàn:
\[ \frac{1}{2}mV_0^2 + mgh = \frac{1}{2}mV_1^2 + mgh_1 \]

Giản lược khối lượng \( m \) và thay thế \( V_1^2 \):
\[ \frac{1}{2}V_0^2 + gh = 3gh_1 + gh_1 \]
\[ \frac{1}{2}(20)^2 + 10 \times 25 = 4gh_1 \]
\[ 200 + 250 = 40h_1 \]
\[ 450 = 40h_1 \]
\[ h_1 = \frac{450}{40} \]
\[ h_1 = 11.25 \text{m} \]

Thay giá trị \( h_1 \) vào phương trình \( V_1^2 = 6gh_1 \):
\[ V_1^2 = 6 \times 10 \times 11.25 \]
\[ V_1^2 = 675 \]
\[ V_1 = \sqrt{675} \]
\[ V_1 \approx 25.98 \text{m/s} \]

Vậy, vận tốc của vật khi động năng bằng 3 lần thế năng là khoảng 25.98 m/s.