MN$MN$ là đường trung bình của tam giác ABC$ABC$ nên ta có: −−−→MN=12−−→AC$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

Tương tự ta có:        

−−→PQ=12−−→CE−−→RS=12−−→EA$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CE}\\ & \overrightarrow{RS}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EA}\end{array}$

⇒−−−→MN+−−→PQ+−−→RS=12−−→AC+12−−→CE+12−−→EA=12(−−→AC+−−→CE+−−→EA)=12(−−→AE+−−→EA)=12−−→AA=→0⇒−−−→MN+−−→PQ+−−→RS=→0$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}\\ & =\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EA}\\ & =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EA}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\\ & \Rightarrow \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{0}\end{array}$

Gọi G$G$ là trọng tâm của tam giác MPR$MPR$, ta có:

−−→GM+−−→GP+−−→GR=→0(2)$\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR}=\overrightarrow{0}(2)$

Mặt khác : 

−−−→MN=−−→MG+−−→GN−−→PQ=−−→PG+−−→GQ−−→RS=−−→RG+−−→GS$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GN}\\ & \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GQ}\\ & \overrightarrow{RS}=\overrightarrow{RG}+\overrightarrow{GS}\end{array}$

⇒−−−→MN+−−→PQ+−−→RS$\Rightarrow \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}$=(−−→MG+−−→PG+−−→RG)$ABC$0 +(−−→GN+−−→GQ+−−→GS)$ABC$1

=→0+−−→GN+−−→GQ+−−→GS$ABC$2 =−−→GN+−−→GQ+−−→GS$ABC$3

(vì −−→MG+−−→PG+−−→RG$ABC$4 =−−−→GM−−−→GP−−−→GR$ABC$5 =−(−−→GM+−−→GP+−−→GR)=→0$ABC$6)

⇒−−−→MN+−−→PQ+−−→RS$\Rightarrow \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}$ =−−→GN+−−→GQ+−−→GS$ABC$3

Mà −−−→MN+−−→PQ+−−→RS=→0$ABC$9 nên 

−−→GN+−−→GQ+−−→GS=→0$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$0

Vậy G$G$ là trọng tâm của tam giác NQS.$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$2

Cách khác:

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR ⇒−−→GM+−−→GP+−−→GR=→0$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$3

Ta cần chứng minh G cũng là trọng tâm của ΔNQS bằng cách chứng minh ⇒−−→GN+−−→GQ+−−→GS=→0$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$4

Thật vậy ta có:

2(−−→GN+−−→GQ+−−→GS)=2−−→GN+2−−→GQ+2−−→GS=(−−→GB+−−→GC)+(−−→GD+−−→GE)+(−−→GF+−−→GA)$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$5

(Vì N, Q, S lần lượt là trung điểm của BC, DE, FA)

=(−−→GA+−−→GB)+(−−→GC+−−→GD)+(−−→GE+−−→GF)=2−−→GM+2−−→GP+2−−→GR$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$6

(Vì M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)

=2(−−→GM+−−→GP+−−→GR)=2→0=→0⇒−−→GN+−−→GQ+−−→GS=→0$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$7

Do đó G cũng là trọng tâm của ΔNQS.

Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.