Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đặt

Ta có

$t = \frac{2 \tan}{1 - \tan^{2} (x)} \Rightarrow \frac{2}{t} = \frac{1}{\tan (x)} - \tan (x) \Rightarrow \frac{4}{t^{2}} = \frac{1}{\tan^{2} (x)} + \tan^{2} (x) - 2$

Từ đó

${(\frac{4}{t^{2}} + 2)}^{2} = {(\frac{1}{\tan^{2} (x)} + \tan^{2} (x))}^{2} \Rightarrow \frac{1}{\tan^{4} (x)} + \tan^{4} (x) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$

Lúc đó $f (t) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$ với t = tan(2x)

Khi $x \in (0; \frac{π}{4})$ thì t = tan(2x) và liên tục trên miền đó nên ta có: $f (t) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$

Bắt đầu từ đây ta có:

$f (\sin (x)) + (\cos (x)) = \frac{16}{\sin^{4} (x)} + \frac{16}{\sin^{2} (x)} + 2 + \frac{16}{\cos^{4} (x)} + \frac{16}{\cos^{2} (x)} + 2 = 16 (\frac{1}{\sin^{4} (x)} + \frac{1}{\cos^{4} (x)}) + 16 (\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}) + 4$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\frac{1}{\sin^{4} (x)} + \frac{1}{\cos^{4} (x)} \geq \frac{2}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} = \frac{8}{\sin^{2} (2 x)} \geq 8 \forall x \in (0; \frac{π}{2}) \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \geq \frac{2}{\sin (x) \cos (x)} = \frac{4}{\sin (2 x)} \geq 4 \forall x \in (0; \frac{π}{2})$

Cuối cùng ta thu được f(sinx) + f(cosx) $\geq 196$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{π}{4}$

Đáp án A

...Xem thêm

Answer 2

Đặt