Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án A.

Vì $y = f (x)$ là hàm số đồng biến trên $[1; 4] \Rightarrow f (x) \geq f (1) = \frac{3}{2} .$

Khi đó:

$x + 2 x . f (x) = {[f' (x)]}^{2} \Leftrightarrow \sqrt{x . [2 f (x) + 1]} = f' (x) \Leftrightarrow \frac{f' (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} = \sqrt{x} (*) .$

Lấy nguyên hàm 2 vế của (*), ta được:

$\int \frac{f' (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} d x = \int \sqrt{x} d x = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C (1) .$

Đặt $t = \sqrt{2 f (x) + 1}$

$\Leftrightarrow d t = \frac{f' (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} d x \Rightarrow \int \frac{f' (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} d x = \int d t = t (2) .$

Từ (1), (2) suy ra $\sqrt{2 f (x) + 1} = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C$ mà $f (1) = \frac{2}{3} \Rightarrow \sqrt{2. \frac{3}{2} + 1} = C + \frac{2}{3} \Leftrightarrow C = \frac{4}{3} .$

Do đó:

$\sqrt{2 f (x) + 1} = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + \frac{4}{3} \Leftrightarrow f (x) = \frac{1}{2} [{(\frac{2}{3} x \sqrt{x} + \frac{4}{3})}^{2} - 1] .$

Vậy $\int_{1}^{4} f (x) d x = \frac{1186}{45} .$

...Xem thêm

Answer 2