Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án B

Ta có:

$3^{x^{2} + y^{2} - 2} . \log_{2} (x - y) = \frac{1}{2} [1 + \log_{2} (1 - x y)] \Leftrightarrow 3^{x^{2} + y^{2} - 2} . \log_{2} {(x - y)}^{2} = \log_{2} (2 - 2 x y)$

$\Leftrightarrow 3^{x^{2} + 2 x y + y^{2} - 2 + 2 x y} . \log_{2} {(x - y)}^{2} = \log_{2} (2 - 2 x y) \Leftrightarrow 3^{{(x - y)}^{2}} . \log_{2} (x - y) = 3^{2 - 2 x y} . \log_{2} (2 - 2 x y)$

Xét hàm số $f (t) = 3^{t} . \log_{2} t$ trên khoảng $(0; + \infty)$ , có $f' (t) = 3^{t} \ln 3. \log_{2} t + \frac{3^{t}}{t . \ln 2} > 0; \forall t > 0$

Suy ra $f (t)$ là hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$ mà

$f [{(x - y)}^{2}] = f (2 - 2 x y) \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 2$

Khi đó:

$M = 2 (x^{3} + y^{3}) - 3 x y = 2 (x + y) [{(x + y)}^{2} - 3 x y] - 3 x y \begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 M = 2 (x + y) [2 {(x + y)}^{2} - 3.2 x y] - 3.2 x y \\ 2 (x + y) [2 {(x + y)}^{2} - 3 {(x + y)}^{2} + 6] - 3 {(x + y)}^{2} + 6 \\ = 2 (x + y) [6 - {(x + y)}^{2}] - 3 {(x + y)}^{2} + 6 \\ = - 2 a^{3} - 3 a^{2} + 12 a + 6, \end{array}$

Với $a = x + y \in (0; 4)$

Xét hàm số $f (a) = - 2 a^{3} - 3 a^{2} + 12 a + 6$ trên $(0; 4)$ ,

suy ra $\underset{(0; 4)}{m ax} f (a) = 13.$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là $\frac{13}{2}$

...Xem thêm

Answer 2