Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án D

Cách 1: Tư duy tự luận (Tính khoảng cách dựa vào hình chiếu)

Ta có

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A B // C D \\ A B ⊄ (S C D) \\ C D \subset (S C D) \end{cases} \\ \Rightarrow A B // (S C D) \\ \Rightarrow d (B, (S C D)) = d (A; (S C D)) \end{array}$

Lại có $\{\begin{cases} C D ⊥ A D, A D \subset (S A D) \\ C D ⊥ S A, S A \subset (S A D) \\ A D \cap S A = A \end{cases}$ $\Rightarrow C D ⊥ (S A D)$ .

Trong mặt phẳng (SAD) : Kẻ $A H ⊥ S D, (H \in S D)$ thì $C D ⊥ A H$ .

Suy ra $A H ⊥ (A C D)$ $\Rightarrow A H = d (A; (S C D))$ $= d (B; (S C D))$ .

$Δ S A D$ vuông tại A nên

$\begin{array}{l} \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} \\ = \frac{1}{{(2 a)}^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{5}{4 a^{2}} \\ \Rightarrow A H = \frac{2 a}{\sqrt{5}} \end{array}$

Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là $d = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ .

Cách 2: Tư duy tự luận (Tinh khoảng cách qua công thức thể tích)

Thể tích khối chóp S.ABCD là $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D}$ $= \frac{1}{3} .2 a . a^{2} = \frac{2 a^{3}}{3}$ (đvtt)

Do $S_{Δ B C D} = \frac{1}{2} S_{A B C D}$ $\Rightarrow V_{S . B C D} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D} = \frac{a^{3}}{3}$ (đvtt).

Ta có $C D ⊥ (S A D)$ (xem lại phần chứng minh ở cách 1) $\Rightarrow C D ⊥ S D \Rightarrow Δ S C D$ vuông tại D. Suy ra

$\begin{array}{l} S_{Δ S C D} = \frac{1}{2} S D . C D \\ = \frac{1}{2} \sqrt{S A^{2} + A D^{2}} . C D \\ = \frac{1}{2} . a . \sqrt{{(2 a)}^{2} + a^{2}} \\ = \frac{a^{2} \sqrt{5}}{2} \end{array}$

(đvdt)

Mặt khác

$\begin{array}{l} V_{S . B C D} = V_{B . S C D} \\ = \frac{1}{3} d (B; (S C D)) . S_{Δ S C D} \\ \Rightarrow d (B; (S C D)) = \frac{3 V_{S . B C D}}{S_{Δ S C D}} \\ = \frac{2 a}{\sqrt{5}} \end{array}$

Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là $d = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ .

...Xem thêm

Answer 2

Đáp án D

Cách 1: Tư duy tự luận (Tính khoảng cách dựa vào hình chiếu)

Ta có

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A B // C D \\ A B ⊄ (S C D) \\ C D \subset (S C D) \end{cases} \\ \Rightarrow A B // (S C D) \\ \Rightarrow d (B, (S C D)) = d (A; (S C D)) \end{array}$

Lại có $\{\begin{cases} C D ⊥ A D, A D \subset (S A D) \\ C D ⊥ S A, S A \subset (S A D) \\ A D \cap S A = A \end{cases}$ $\Rightarrow C D ⊥ (S A D)$ .

Trong mặt phẳng (SAD) : Kẻ $A H ⊥ S D, (H \in S D)$ thì $C D ⊥ A H$ .

Suy ra $A H ⊥ (A C D)$ $\Rightarrow A H = d (A; (S C D))$ $= d (B; (S C D))$ .

$Δ S A D$ vuông tại A nên

$\begin{array}{l} \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} \\ = \frac{1}{{(2 a)}^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{5}{4 a^{2}} \\ \Rightarrow A H = \frac{2 a}{\sqrt{5}} \end{array}$

Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là $d = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ .

Cách 2: Tư duy tự luận (Tinh khoảng cách qua công thức thể tích)

Thể tích khối chóp S.ABCD là $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D}$ $= \frac{1}{3} .2 a . a^{2} = \frac{2 a^{3}}{3}$ (đvtt)

Do $S_{Δ B C D} = \frac{1}{2} S_{A B C D}$ $\Rightarrow V_{S . B C D} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D} = \frac{a^{3}}{3}$ (đvtt).

Ta có $C D ⊥ (S A D)$ (xem lại phần chứng minh ở cách 1) $\Rightarrow C D ⊥ S D \Rightarrow Δ S C D$ vuông tại D. Suy ra

$\begin{array}{l} S_{Δ S C D} = \frac{1}{2} S D . C D \\ = \frac{1}{2} \sqrt{S A^{2} + A D^{2}} . C D \\ = \frac{1}{2} . a . \sqrt{{(2 a)}^{2} + a^{2}} \\ = \frac{a^{2} \sqrt{5}}{2} \end{array}$

(đvdt)

Mặt khác

$\begin{array}{l} V_{S . B C D} = V_{B . S C D} \\ = \frac{1}{3} d (B; (S C D)) . S_{Δ S C D} \\ \Rightarrow d (B; (S C D)) = \frac{3 V_{S . B C D}}{S_{Δ S C D}} \\ = \frac{2 a}{\sqrt{5}} \end{array}$

Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là $d = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ .

1 câu trả lời 271

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 12