Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án B.

Mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3$

có tâm $O (0; 0; 0)$ và bán kính $R = \sqrt{3}$

Giả sử $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ với $a, b, c > 0$ $\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $(α)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$

Để ý rằng $O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} = 27 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 27$ và vì $(α)$ tiếp xúc mặt cầu $(S) :$

$\Rightarrow d (O, (α)) = R = \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{|\frac{0}{a} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1|}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}} = \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{3}$

Ta luôn có bất đẳng thức $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}) \geq 9$ với $a, b, c > 0.$

Dấu bằng khi $a = b = c = 3$

Ta có $V_{O . A B C} = \frac{O A . O B . O C}{6} = \frac{a b c}{6} = \frac{27}{6}$

hoặc $V_{O . A B C} = \frac{d (O, (α)) . S_{A B C}}{3} \Leftrightarrow S_{A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} .$

...Xem thêm

Answer 2