Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án B

Ta có:

$\log (x + 2 y) = \log x + \log y \Leftrightarrow \log 2 (x + 2 y) = \log 2 x y \Leftrightarrow 2 (x + 2 y) = 2 x y (*) .$

Đặt $\{\begin{cases} a = x > 0 \\ b = 2 y > 0 \end{cases},$ khi đó $(*) \Leftrightarrow 2 (a + b) = a b$ và $P = \frac{a^{2}}{1 + b} + \frac{b^{2}}{1 + a} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{a + b + 2} .$

Lại có $a b \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \Rightarrow 2 (a + b) \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \Leftrightarrow a + b \geq 8.$

Đặt $t = a + b,$ do đó $P \geq f (t) = \frac{t^{2}}{t + 2}$

Xét hàm số $f (t) = \frac{t^{2}}{t + 2}$ trên $[8; + \infty),$ có $f' (t) = \frac{t^{2} + 2 t}{{(t + 2)}^{2}} > 0; \forall t \geq 8$

Suy ra $f (t)$ là hàm số đồng biến trên $[8; + \infty) \to \min_{[8; + \infty)} f (t) = f (8) = \frac{32}{5} .$

Vậy gía trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\frac{32}{5} .$

...Xem thêm

Answer 2