Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án A.

Điều kiện $x \in ℝ$

$\begin{array}{l} y = \cos x + \cos (x - \frac{π}{3}) \\ = \cos x + \cos x . \cos \frac{π}{3} + \sin x . \sin \frac{π}{3} \\ = \cos x + \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \end{array}$

$= \frac{3}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$

Cách 1: $y = \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x)$ $= \sqrt{3} \sin (x + \frac{π}{3})$ Suy ra $- \sqrt{3} \leq y \leq \sqrt{3}$

Vậy $m = - \sqrt{3}; M = \sqrt{3}$ và do đó $M^{2} + m^{2} = 6$

Cách 2:

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:

${(\frac{3}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x)}^{2}$ $\leq [{(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}] [{(\cos x)}^{2} + {(\sin x)}^{2}]$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(\frac{3}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x)}^{2} \leq 3 \\ \Leftrightarrow - \sqrt{3} \leq y \leq \sqrt{3} \end{array}$

$\Rightarrow M = \sqrt{3}$ khi $\{\begin{cases} \frac{2}{3} \cos x = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin x \\ \frac{3}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \sqrt{3} \end{cases}$

Tương tự ta có $m = - \sqrt{3}$ khi $\{\begin{cases} \frac{2}{3} \cos x = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin x \\ \frac{3}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = - \sqrt{3} \end{cases}$

$\Rightarrow M^{2} + m^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2} = 6$

Vậy ta chọn A.

...Xem thêm

Answer 2