Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án B.

Từ

$\begin{array}{l} f (x) . f' (x) = 2 x \sqrt{f^{2} (x) + 1} \\ \Rightarrow \frac{f (x) . f' (x)}{\sqrt{f^{2} (x) + 1}} = 2 x \\ \Rightarrow \int \frac{f (x) . f' (x)}{\sqrt{f^{2} (x) + 1}} d x = \int 2 x d x \end{array}$

(1)

Đặt

$\begin{array}{l} \sqrt{f^{2} (x) + 1} = t \\ \Rightarrow f^{2} (x) = t^{2} - 1 \\ \Rightarrow 2 f (x) . f' (x) d x = 2 t d t \\ \Rightarrow f (x) . f' (x) d x = t d t \end{array}$

Suy ra $\int \frac{f (x) . f' (x)}{\sqrt{f^{2} (x) + 1}} x = \int \frac{t d t}{t}$ $= \int d t = t + C_{1}$ $= \sqrt{f^{2} (x) + 1} + C_{1}$ và $\int 2 x d x = x^{2} + C_{2}$

Từ (1) ta suy ra $\sqrt{f^{2} (x) + 1} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$ . Do $f (0) = 0$ nên $C_{2} - C_{1} = 1$ .

Như vậy

$\begin{array}{l} \sqrt{f^{2} (x) + 1} = x^{2} + (C_{2} - C_{1}) \\ = x^{2} + 1 \\ \Rightarrow f^{2} (x) = {(x^{2} + 1)}^{2} - 1 \\ = x^{4} + 2 x^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = \sqrt{x^{4} + 2 x^{2}} \\ = |x| \sqrt{x^{2} + 2} \\ = x \sqrt{x^{2} + 2} \end{array}$

(do $x \in [1; 3]$ ).

Ta có $f' (x) = \sqrt{x^{2} + 2} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ $= \frac{2 (x^{2} + 1)}{\sqrt{x^{2} + 2}} > 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow$ Hàm số $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 2}$ đồng biến trên R nên $f (x)$ cũng đồng biến trên $[1; 3]$ .

Khi đó $M = \max_{[1; 3]} f (x) = f (3) = 3 \sqrt{11}$ và $m = \min_{[1; 3]} f (x) = f (1) = \sqrt{3}$ .

Vậy

$\begin{array}{l} P = 2 M - m = 6 \sqrt{11} - \sqrt{3} \\ \Rightarrow a = 6; b = 1; c = 0 \\ \Rightarrow a + b + c = 7 \end{array}$

...Xem thêm

Answer 2