Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án A.

1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có

$\begin{array}{l} C B ⊥ A B, C B ⊥ S A, \\ A B \cap S A = A \\ \Rightarrow C B ⊥ (S A B) \\ \Rightarrow C B ⊥ S B \Rightarrow Δ S B C \end{array}$

vuông tại B.

Lại có

$\begin{array}{l} C D ⊥ A D, C D ⊥ S A, \\ A D \cap S A = A \\ \Rightarrow C D ⊥ (S A D) \\ \Rightarrow C D ⊥ S D \end{array}$

$\Rightarrow Δ S D C$ vuông tại D.

Mặt khác $S A ⊥ (A B C D)$ $\Rightarrow S A ⊥ A C \Rightarrow Δ S A C$ vuông tại A.

Gọi I là trung điểm của SC. Các tam giác: $Δ S A C, Δ S B C, Δ S D C$ lần lượt vuông tại các đỉnh A, B và D nên $I S = I A = I B$ $= I C = I D = \frac{1}{2} S C$ . Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I, bán kính $R = \frac{1}{2} S C$

2. Tính diện tích mặt cầu

Ta có $(\hat{S C, (A B C D)}) = (\hat{S C, A C})$ $= \hat{S C A} = 60 °$

Do $Δ A D C$ vuông tại A nên $S_{?A C} = \frac{1}{2} A D . C D$ $\Leftrightarrow A D = \frac{2 S_{Δ A D C}}{C D}$ $= \frac{a^{2} \sqrt{3}}{a} = a \sqrt{3}$

$\Rightarrow A C = \sqrt{A D^{2} + C D^{2}}$ $= \sqrt{{(a \sqrt{3})}^{2} + a^{2}} = 2 a$

Mà $A C = S C . \cos \hat{S C A}$ $\Rightarrow S C = \frac{2 a}{\cos 60 °} = 4 a$

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là $R = \frac{S C}{2} = \frac{4 a}{2} = 2 a$ và diện tích mặt cầu là $S = 4 π R^{2} = 4 π . {(2 a)}^{2} = 16 π a^{2}$ (đvdt).

...Xem thêm

Answer 2