Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án C.

Giả sử các kích thước của hình hộp chữ nhật là $A B = x$ , $A D = y$ , $A A' = z$ . Trong đó $x, y, z > 0$ . Để giải bài toán, ta phân tích từng dữ kiện có trong đề bài.

1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C bằng $\frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ .

Ta có

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A B / / C D \\ C D \subset (A' B' C D) \\ A B ⊄ (A' B' C D) \end{cases} \\ \Rightarrow A B / / (A' B' C D) \\ \Rightarrow d (A B; B' C) \\ = d (A B; (A' B' C D)) \end{array}$

$= d (A; (A' B' C D))$ $= A H = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ với H là hình chiếu của A trên .

Từ $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A A'^{2}} + \frac{1}{A D^{2}}$ $\Rightarrow \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} = \frac{5}{4 a^{2}}$ (1)

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' bằng $\frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ .

Tương tự, ta chứng minh được

$\begin{array}{l} B C / / (A B' C' D) \\ \Rightarrow d (B C; A B') = d (B C; (A B' C' D)) \end{array}$

$= B K = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}$

với K là hình chiếu của B trên AB'.

Từ $\frac{1}{B K^{2}} = \frac{1}{B A^{2}} + \frac{1}{B B'^{2}}$ $\Rightarrow \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{z^{2}} = \frac{5}{4 a^{2}}$ (2)

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD' là $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Gọi $\{O\} = A C \cap B D \Rightarrow O$ là trung điểm của BD. Gọi I là trung điểm của DD' thì OI là đường trung bình của $Δ B D D' \Rightarrow O I / / B D'$ $\Rightarrow B D' / / (A C I)$

$\Rightarrow d (B D'; A C) = d (B D'; (A C I)) = d (D'; (A C I)) = d (D; (A C I))$

Ta thấy DI, DA, DC đôi một vuông góc với nhau nên:

$\begin{array}{l} \frac{1}{d^{2} (D; (A C I))} \\ = \frac{1}{D A^{2}} + \frac{1}{D C^{2}} + \frac{1}{D I^{2}} \\ = \frac{1}{D A^{2}} + \frac{1}{D C^{2}} + \frac{4}{D D'} \\ \Rightarrow \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{4}{z^{2}} = \frac{3}{a^{2}} \end{array}$

(3)

Giải hệ phương trình gồm (1), (2) và (3) ta tìm được: $x = y = z, z = 2 a$ .

Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là $V = x y z = a . a .2 a = 2 a^{3}$ (đvtt).

...Xem thêm

Answer 2