Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án A.

Mặt cầu(S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R = 1. Gọi E là điểm thỏa mãn hệ thức $3 \vec{E A} + 2 \vec{B E} + \vec{E C} = \vec{O} \to E (1; 4; - 3)$

Ta có $T = 3 M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2} = 3 {(\vec{M E} + \vec{E A})}^{2} + 2 {(\vec{M E} + \vec{E B})}^{2} + {(\vec{M E} + \vec{E C})}^{2} = 6 M E^{2} + 3 E A^{2} + E B^{2} + E C^{2} + 2 \vec{M E} (3 \vec{E A} + 2 \vec{E B} + \vec{E C})$

$\to T = 6 M E^{2} + 3 E A^{2} + 2 E B^{2} + E C^{2}$ . Do EA, EB, EC không đổi nên T nhỏ nhất khi ME nhở nhất M là một trong hai giao điểm của đường thẳng IE và mặt cầu (S).

Ta có $\vec{I E} = (0; 3; 4) \to$ Phương trình $I E : \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + 3 t \\ z = 1 - 4 t \end{cases} (t \in ℝ)$ . Giao điểm của IE và mặt cầu $(S)$ thỏa mãn phương trình:

${(1 - 1)}^{2} + {(1 + 3 t - 1)}^{2} + {(1 - 4 t - 1)}^{2} = 1 \Leftrightarrow 25 t^{2} = 1 \Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{5} \to \{\begin{cases} M_{1} (1; \frac{8}{5}; \frac{1}{5}) \\ M_{2} (1; \frac{2}{5}; \frac{9}{5}) \end{cases}$

Ta có $M_{1} (1; \frac{8}{5}; \frac{1}{5}) \to M_{1} E = 4$ và $M_{2} (1; \frac{2}{5}; \frac{9}{5}) \to M_{2} E = 6$ . Vậy $M_{1} E < M_{2} E$ và biểu thức $T = 3 M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M (1; \frac{8}{5}; \frac{1}{5})$

$\to a = 1, b = \frac{8}{5}, c = \frac{1}{5} \to a + b + c = \frac{14}{5}$

...Xem thêm

Answer 2