Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án A.

Cách 1: Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Ta có $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B D$ . Lại có $A C ⊥ B D$ (tính chất hình vuông).

Suy ra $B D ⊥ (S A C)$ . Do đó hình chiếu của SB trên $(S A C)$ là SI. Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $(S A C)$ là góc giữa SB và SI, tức là góc $\hat{I S B}$ (do tam giác ISB vuông tại I nên $\hat{I S B}$ là góc nhọn). Ta có:

$\begin{array}{l} S B = \sqrt{S A^{2} + A B^{2}} \\ = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}, \\ I B = \frac{B D}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \end{array}$

Do đó

$\begin{array}{l} \sin \hat{I S B} = \frac{I B}{S B} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \hat{I S B} = 30 ° \end{array}$

Cách 2: (Phương pháp tọa độ hóa) Không mất tổng quát, gán tọa độ như sau:

$A (0; 0; 0), B (1; 0; 0),$ $D (0; 1; 0), S (0; 0; 1)$ Khi đó $C (1; 1; 0)$ .

Ta có $\vec{S A} = (0; 0; - 1), \vec{S C} = (1; 1; - 1),$ $\vec{S B} = (1; 0; - 1)$

Đặt $\vec{n} = [\vec{S A}, \vec{S C}] = (1; - 1; 0)$ . Khi đó $\vec{n}$ là một VTPT của $(S A C)$ .

Gọi $α$ là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $(S A C)$ , $β$ là góc giữa vecto $\vec{n}$ và vecto $\vec{S B}$ . Ta có

$\begin{array}{l} \sin α = |\cos β| = \frac{|\vec{n} . \vec{S B}|}{|\vec{n}| . |\vec{S B}|} \\ = \frac{|1|}{\sqrt{2} . \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow α = 30 ° \end{array}$

...Xem thêm

Answer 2