Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án B.

Đặt $a = B C, b = C A, c = A B$ .

Quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA thì khối tròn xoay sinh ra là khối nón có chiều cao $h_{1} = \sqrt{R^{2} - \frac{1}{4} b^{2}}$ và bán kính đáy $r_{1} = \frac{1}{2} b$ nên ta có $V_{1} = \frac{1}{3} π r_{1}^{2} h_{1} = \frac{1}{24} π b^{2} \sqrt{4 R^{2} - b^{2}}$ .

Tương tự, ta có

$\begin{array}{l} V_{2} = \frac{1}{24} π c^{2} \sqrt{4 R^{2} - c^{2}}; \\ V_{3} = \frac{1}{24} π a^{2} \sqrt{4 R^{2} - a^{2}} \end{array}$ .

Bằng việc khảo sát hàm số $f (t) = t^{2} (4 R^{2} - t)$ trên khoảng $(0; 4 R^{2})$ hoặc dựa vào bất đẳng thức Cô-si

$\frac{1}{2} b^{2} . \frac{1}{2} b^{2} . (4 R^{2} - b^{2}) \leq {(\frac{\frac{1}{2} b^{2} + \frac{1}{2} b^{2} + 4 R^{2} - b^{2}}{3})}^{3} = \frac{64}{27} R^{6}$ .

Ta được $V_{1} \leq \frac{2 π \sqrt{3}}{9} R^{3}; V_{2} \leq \frac{2 π \sqrt{3}}{9} R^{3}$ . Suy ra $V_{1} + V_{2} \leq \frac{4 π \sqrt{3}}{9} R^{3}$ .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $b = c = \frac{2 \sqrt{6}}{3} R$ .

Vậy $V_{1} + V_{2}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{4 π \sqrt{3}}{9} R^{3}$ khi $b = c = \frac{2 \sqrt{6}}{3} R$ .

Khi đó tam giác ABC cân tại A và có $A B = A C = \frac{2 \sqrt{6}}{3} R$ .

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC thì $2 R . A H = A B^{2}$ . Từ đó suy ra $A H = \frac{A B^{2}}{2 R} = \frac{4}{3} R$ . Do đó $O H = A H - R = \frac{1}{3} R$ và $a = 2 \sqrt{R^{2} - O H^{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{3} R$ .

Suy ra $V_{3} = \frac{8 π}{81} R^{3}$ .

...Xem thêm

Answer 2