Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án C.

Ta có $B C ⊥ A B; B C ⊥ S A$ nên $B C ⊥ (S A B)$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.

Khi đó $A H ⊥ (S B C)$ và $d (A, (S B C)) = A H$ .

Ta có góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $(A B C D)$ là góc $\hat{S B A}$ .

Đặt $\hat{S B A} = α$ .

Theo giả thiết ta có $A B = \frac{a}{\sin α}; S A = \frac{a}{\cos α}$ .

Thể tích khối chóp S.ABCD là $V = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3 \sin^{2} α \cos α} a^{3}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

$\sin^{2} α . \sin^{2} α .2 \cos^{2} α$ $\leq {(\frac{\sin^{2} α + \sin^{2} α + 2 \cos^{2} α}{3})}^{3} = \frac{8}{27}$

Suy ra $\sin^{2} α \cos α \leq \frac{2 \sqrt{3}}{9}$ . Do đó $V \geq \frac{\sqrt{3}}{2} a^{3}$ .

Dấu bằng xảy ra khi $\sin^{2} α = 2 \cos^{2} α \Rightarrow \cos α = \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{\sqrt{3}}{2} a^{3}$ khi $\cos α = \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Suy ra $V_{0} = \frac{\sqrt{3}}{2} a^{3}; p = 1, q = 3$

$\Rightarrow T = (p + q) V_{0} = 2 \sqrt{3} a^{3}$ .

...Xem thêm

Answer 2