Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f(x) và Ox: $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ .

Để phương trình có bốn nghiệm

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{2} - 4 a c > 0 \\ - \frac{b}{a} > 0 \\ \frac{c}{a} > 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{2} - \frac{5}{9} b^{2} > 0 \\ - \frac{b}{a} > 0 \\ \frac{c}{a} > 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} b \neq 0 \\ - \frac{b}{a} > 0 \\ \frac{c}{a} > 0 \end{cases} \end{array}$

Gọi $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ lần lượt là bốn nghiệm của phương trình $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ và $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ . Không mất tính tổng quát, giả sử a>0.

Khi đó $\{\begin{cases} x^{2} = \frac{- b + \frac{2 b}{3}}{2 a} = - \frac{b}{6 a} \\ x^{2} = \frac{- b - \frac{2 b}{3}}{2 a} = - \frac{5 b}{6 a} \end{cases}, (b < 0)$ .

Suy ra

$\begin{array}{l} x_{1} = - \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}}; \\ x_{2} = - \sqrt{- \frac{b}{6 a}}; \\ x_{3} = \sqrt{- \frac{b}{6 a}}; \\ x_{4} = \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} \end{array}$

Do đồ thị hàm số f(x) nhận trục tung làm trục đối xứng nên ta có:

$\begin{array}{l} S_{1} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} |f (x)| d x + \int_{x_{3}}^{x_{4}} |f (x)| d x \\ = - 2 \int_{x_{3}}^{x_{4}} f (x) d x \\ = - 2 \int_{x_{3}}^{x_{4}} (a x^{4} + b x^{2} + c) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} = - 2 (\frac{a x^{5}}{5} + \frac{b x^{3}}{3} + c x) |\begin{array}{l} x_{4} \\ x_{3} \end{array} \\ = \frac{2 a x_{3}^{5}}{5} + \frac{b x_{3}^{3}}{3} + c x_{3} - \frac{2 a x_{4}^{5}}{5} + \frac{b x_{4}^{3}}{3} + c x_{4} . \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{2} = \int_{x_{2}}^{x_{3}} |f (x)| d x = 2 \int_{0}^{x_{3}} |f (x)| d x \\ = 2 \int_{0}^{x_{3}} (a x^{4} + b x^{2} + c) d x \\ = 2 (\frac{a x^{5}}{5} + \frac{b x^{3}}{3} + c x) |\begin{array}{l} x_{3} \\ 0 \end{array} \end{array}$

$= \frac{2 a x_{3}^{5}}{5} + \frac{2 b x_{3}^{3}}{3} + 2 c x_{3}$ .

Suy ra

$\begin{array}{l} S_{2} - S_{1} = \frac{2 a x_{4}^{5}}{5} + \frac{2 a x_{4}^{3}}{3} + 2 c x_{4} \\ = \frac{2 a}{5} {(\sqrt{- \frac{5 b}{6 a}})}^{5} + \frac{2 b}{3} {(\sqrt{- \frac{5 b}{6 a}})}^{3} + 2 c (\sqrt{- \frac{5 b}{6 a}}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{2 a}{5} . \frac{25 b^{2}}{36 a^{2}} \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} - \frac{2 b}{3} . \frac{5 b}{6 a} \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} + 2 c \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} \\ = \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} (\frac{5 b^{2}}{18 a} - \frac{5 b^{2}}{9 a} + 2 c) \end{array}$

$= \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} . \frac{- 5 b^{2} + 36 a c}{18 a} = 0$

Vậy $S_{1} = S_{2}$ hay $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 1$ .

...Xem thêm

Answer 2

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f(x) và Ox: $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ .

Để phương trình có bốn nghiệm

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{2} - 4 a c > 0 \\ - \frac{b}{a} > 0 \\ \frac{c}{a} > 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{2} - \frac{5}{9} b^{2} > 0 \\ - \frac{b}{a} > 0 \\ \frac{c}{a} > 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} b \neq 0 \\ - \frac{b}{a} > 0 \\ \frac{c}{a} > 0 \end{cases} \end{array}$

Gọi $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ lần lượt là bốn nghiệm của phương trình $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ và $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ . Không mất tính tổng quát, giả sử a>0.

Khi đó $\{\begin{cases} x^{2} = \frac{- b + \frac{2 b}{3}}{2 a} = - \frac{b}{6 a} \\ x^{2} = \frac{- b - \frac{2 b}{3}}{2 a} = - \frac{5 b}{6 a} \end{cases}, (b < 0)$ .

Suy ra

$\begin{array}{l} x_{1} = - \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}}; \\ x_{2} = - \sqrt{- \frac{b}{6 a}}; \\ x_{3} = \sqrt{- \frac{b}{6 a}}; \\ x_{4} = \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} \end{array}$

Do đồ thị hàm số f(x) nhận trục tung làm trục đối xứng nên ta có:

$\begin{array}{l} S_{1} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} |f (x)| d x + \int_{x_{3}}^{x_{4}} |f (x)| d x \\ = - 2 \int_{x_{3}}^{x_{4}} f (x) d x \\ = - 2 \int_{x_{3}}^{x_{4}} (a x^{4} + b x^{2} + c) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} = - 2 (\frac{a x^{5}}{5} + \frac{b x^{3}}{3} + c x) |\begin{array}{l} x_{4} \\ x_{3} \end{array} \\ = \frac{2 a x_{3}^{5}}{5} + \frac{b x_{3}^{3}}{3} + c x_{3} - \frac{2 a x_{4}^{5}}{5} + \frac{b x_{4}^{3}}{3} + c x_{4} . \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{2} = \int_{x_{2}}^{x_{3}} |f (x)| d x = 2 \int_{0}^{x_{3}} |f (x)| d x \\ = 2 \int_{0}^{x_{3}} (a x^{4} + b x^{2} + c) d x \\ = 2 (\frac{a x^{5}}{5} + \frac{b x^{3}}{3} + c x) |\begin{array}{l} x_{3} \\ 0 \end{array} \end{array}$

$= \frac{2 a x_{3}^{5}}{5} + \frac{2 b x_{3}^{3}}{3} + 2 c x_{3}$ .

Suy ra

$\begin{array}{l} S_{2} - S_{1} = \frac{2 a x_{4}^{5}}{5} + \frac{2 a x_{4}^{3}}{3} + 2 c x_{4} \\ = \frac{2 a}{5} {(\sqrt{- \frac{5 b}{6 a}})}^{5} + \frac{2 b}{3} {(\sqrt{- \frac{5 b}{6 a}})}^{3} + 2 c (\sqrt{- \frac{5 b}{6 a}}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{2 a}{5} . \frac{25 b^{2}}{36 a^{2}} \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} - \frac{2 b}{3} . \frac{5 b}{6 a} \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} + 2 c \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} \\ = \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} (\frac{5 b^{2}}{18 a} - \frac{5 b^{2}}{9 a} + 2 c) \end{array}$

$= \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} . \frac{- 5 b^{2} + 36 a c}{18 a} = 0$

Vậy $S_{1} = S_{2}$ hay $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 1$ .

1 câu trả lời 236

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 12