Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án A

Ta có $- \frac{1}{30} = \int_{1}^{2} (x - 1) f (x) d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} f (x) d ({(x - 1)}^{2})$

$= \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} f (x)_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(x - 1)}^{2} f' (x) d x$

$\Leftrightarrow \int_{1}^{2} {(x - 1)}^{2} f' (x) d x = \frac{1}{15}$

Ta lại có $\int_{1}^{2} {(x - 1)}^{4} d x = \frac{1}{5} {(x - 1)}^{5}_{1}^{2} = \frac{1}{5}$

Từ giả thiết và các kết quả ta có

$9 \int_{1}^{2} {[f' (x)]}^{2} d x - 6 \int_{1}^{2} {(x - 1)}^{2} f' (x) d x + \int_{1}^{2} {(x - 1)}^{4} d x = 0$

Mặt khác:

$9 \int_{1}^{2} {[f' (x)]}^{2} d x - 6 \int_{1}^{2} {(x - 1)}^{2} f' (x) d x + \int_{1}^{2} {(x - 1)}^{4} d x = \int_{1}^{2} {[3 f' (x) - {(x - 1)}^{2}]}^{2}$

Do vậy xét trên đoạn [1;2] , ta có

$3 f' (x) - {(x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow f' (x) = \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} \Rightarrow f (x) = \frac{1}{9} {(x - 1)}^{3} + c$

Lại do f(2) = 0 nên $C + \frac{1}{9} = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{9} \Rightarrow f (x) = \frac{1}{9} {(x - 1)}^{3} - \frac{1}{9}$

Suy ra $I = \frac{1}{9} \int_{1}^{2} [{(x - 1)}^{3} - 1] d x = \frac{1}{36} {(x - 1)}^{4}_{1}^{2} - \frac{1}{9} {(x - 1)}_{1}^{2} = - \frac{1}{12}$

...Xem thêm

Answer 2