Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Giả sử $\vec{S D} = m \vec{S M}, \vec{S B} = n \vec{S N}$

Ta có $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D} (= 2 \vec{S I})$

Vì $A, M, N, P$ đồng phẳng nên tồn tại các số x;y sao cho $\vec{A P} = x \vec{A M} + y \vec{A N}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} (\vec{A S} + \vec{A C}) = x (\vec{A S} + \vec{S M}) + y (\vec{A S} + \vec{S N})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} (\vec{A S} + \vec{A S} + \vec{S B} + \vec{A S} + \vec{S D}) = x (\vec{A S} + \vec{S M}) + y (\vec{A S} + \vec{S N})$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2} \vec{A S} + \frac{1}{2} \vec{S B} + \frac{1}{2} \vec{S D} = (x + y) \vec{A S} + \frac{x}{m} \vec{S M} + \frac{y}{n} \vec{S N}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = \frac{3}{2} \\ \frac{x}{m} = \frac{1}{2} \\ \frac{y}{n} = \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow m + n = 3.$

Ta có: $\frac{V_{S . A N P}}{V_{S . A B C}} = \frac{S N}{S B} . \frac{S P}{S C} \Rightarrow V_{S . A N P} = \frac{S N}{S B} . \frac{S P}{S C} . V_{S . A B C} = \frac{S N}{S B} . \frac{1}{2} . \frac{V}{2} (1)$

$\frac{V_{S . A M P}}{V_{S . A D C}} = \frac{S M}{S D} . \frac{S P}{S C} \Rightarrow V_{S . A M P} = \frac{S M}{S D} . \frac{S P}{S C} . V_{S . A D C} = \frac{S M}{S D} . \frac{1}{2} . \frac{V}{2} (2)$

Từ (1) và (2) $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4} (\frac{S B}{S B} + \frac{S M}{S D}) = \frac{1}{4} (\frac{1}{n} + \frac{1}{m}) \geq \frac{1}{m + n} = \frac{1}{3}$

...Xem thêm

Answer 2