Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án D.

Cách 1 (Giải theo trắc nghiệm - Tổng quát hóa – Đặc biệt hóa)

Bài toán tổng quát:

Cho

$A = \frac{1}{1! . (2 n)!} + \frac{1}{2! . (2 n - 1)!} + \frac{1}{3! . (2 n - 2)!} + ... + \frac{1}{(n - 1)! . (2 n)!} + \frac{1}{n! . (n + 1)!}$

Cho

$A = \frac{1}{1! . (2 n)!} + \frac{1}{2! . (2 n - 1)!} + \frac{1}{3! . (2 n - 2)!} + ... + \frac{1}{(n - 1)! . (2 n)!} + \frac{1}{n! . (n + 1)!}$

Giá trị của A là:

A. $\frac{2^{2 n - 1} - 1}{(2 n)!} .$

B. $\frac{2^{2 n - 1}}{(2 n)!} .$

C. $\frac{2^{2 n}}{(2 n + 1)!} .$

D. $\frac{2^{2 n} - 1}{(2 n + 1)!} .$

Đặc biệt hóa: Cho n = 2, ta có:

$A = \frac{1}{1! .4!} + \frac{1}{2! .3!} = \frac{1}{8} .$

Khi n = 2 ứng với 4 đáp án A, B, C, D, ta thấy chỉ có đáp án D:

$\frac{2^{4} - 1}{5!} = \frac{1}{8} .$

Cách 2 (Làm tự luận)

Ta có:

$A = \sum_{k = 1}^{1009} \frac{1}{k! . (2019 - k)!} \Rightarrow 2019! . A = \sum_{k = 1}^{1009} \frac{2019!}{k! . (2019 - k)!} = \sum_{k = 1}^{1009} C_{2019}^{k}$

Chú ý rằng: $C_{2019}^{k} = C_{2019}^{2019 - k}$

nên $\sum_{k = 1}^{1009} C_{2019}^{k} = \sum_{k = 1010}^{2018} C_{2019}^{k}$

Ngoài ra ${(1 + 1)}^{2019} = \sum_{k = 0}^{2019} C_{2019}^{k} = 2^{2019}$

$\Rightarrow \sum_{k = 1}^{1009} C_{2019}^{k} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{2018} C_{2019}^{k} = \frac{1}{2} (\sum_{k = 0}^{2019} C_{2019}^{k} - 2) = \frac{1}{2} (2^{2019} - 2) = 2^{2018} - 1.$

Do đó $A = \frac{2^{2018} - 1}{2019!} .$

...Xem thêm

Answer 2

Đáp án D.

Cách 1 (Giải theo trắc nghiệm - Tổng quát hóa – Đặc biệt hóa)

Bài toán tổng quát:

Cho

$A = \frac{1}{1! . (2 n)!} + \frac{1}{2! . (2 n - 1)!} + \frac{1}{3! . (2 n - 2)!} + ... + \frac{1}{(n - 1)! . (2 n)!} + \frac{1}{n! . (n + 1)!}$

Cho

$A = \frac{1}{1! . (2 n)!} + \frac{1}{2! . (2 n - 1)!} + \frac{1}{3! . (2 n - 2)!} + ... + \frac{1}{(n - 1)! . (2 n)!} + \frac{1}{n! . (n + 1)!}$

Giá trị của A là:

A. $\frac{2^{2 n - 1} - 1}{(2 n)!} .$

B. $\frac{2^{2 n - 1}}{(2 n)!} .$

C. $\frac{2^{2 n}}{(2 n + 1)!} .$

D. $\frac{2^{2 n} - 1}{(2 n + 1)!} .$

Đặc biệt hóa: Cho n = 2, ta có:

$A = \frac{1}{1! .4!} + \frac{1}{2! .3!} = \frac{1}{8} .$

Khi n = 2 ứng với 4 đáp án A, B, C, D, ta thấy chỉ có đáp án D:

$\frac{2^{4} - 1}{5!} = \frac{1}{8} .$

Cách 2 (Làm tự luận)

Ta có:

$A = \sum_{k = 1}^{1009} \frac{1}{k! . (2019 - k)!} \Rightarrow 2019! . A = \sum_{k = 1}^{1009} \frac{2019!}{k! . (2019 - k)!} = \sum_{k = 1}^{1009} C_{2019}^{k}$

Chú ý rằng: $C_{2019}^{k} = C_{2019}^{2019 - k}$

nên $\sum_{k = 1}^{1009} C_{2019}^{k} = \sum_{k = 1010}^{2018} C_{2019}^{k}$

Ngoài ra ${(1 + 1)}^{2019} = \sum_{k = 0}^{2019} C_{2019}^{k} = 2^{2019}$

$\Rightarrow \sum_{k = 1}^{1009} C_{2019}^{k} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{2018} C_{2019}^{k} = \frac{1}{2} (\sum_{k = 0}^{2019} C_{2019}^{k} - 2) = \frac{1}{2} (2^{2019} - 2) = 2^{2018} - 1.$

Do đó $A = \frac{2^{2018} - 1}{2019!} .$

1 câu trả lời 471

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 12