Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án D.

Ta có:

$\int_{4}^{8} \frac{f' (x)}{{[f (x)]}^{2}} d x = \int_{4}^{8} {[f (x)]}^{- 2} d [f (x)] = {\frac{{[f (x)]}^{- 1}}{- 1}|}_{4}^{8} = - \frac{1}{f (8)} + \frac{1}{f (4)} = - 2 + 4 = 2.$

Gọi k là 1 hằng số thực. Xét

$\int_{4}^{8} {(\frac{f' (x)}{f^{2} (x)} + k)}^{2} d x = \int_{4}^{8} \frac{{[f' (x)]}^{2}}{{[f (x)]}^{4}} d x + 2 k \int_{4}^{8} \frac{f' (x)}{f^{2} (x)} d x + k^{2} \int_{4}^{8} d x = 1 + 2 k . k + 4 k^{2} = {(2 k + 1)}^{2} .$

Chọn $k = \frac{- 1}{2},$ ta có $\int_{4}^{8} {(\frac{f' (x)}{f^{2} (x)} - \frac{1}{2})}^{2} d x = 0,$ mà ${(\frac{f' (x)}{f^{2} (x)} - \frac{1}{2})}^{2} \geq 0$ nên ${(\frac{f' (x)}{f^{2} (x)} - \frac{1}{2})}^{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{f' (x)}{f^{2} (x)} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \int \frac{f' (x)}{f^{2} (x)} d x = \frac{x}{2} + C \Rightarrow - \frac{1}{f (x)} = \frac{x}{2} + C .$

Với $x = 4$ , ta có

$- \frac{1}{f (4)} = 2 + C \Leftrightarrow - 4 = 2 + C \Leftrightarrow C = - 6.$

Do đó: $f (x) = \frac{- 1}{\frac{x}{2} - 6} = \frac{2}{12 - x} .$ Do đó $f (6) = \frac{2}{12 - 6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} .$

...Xem thêm

Answer 2