Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án B

Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Ta chứng minh G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện.

Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD.

Ta có G là trung điểm của các đoạn MN, PQ, RS.

$Δ A C D = Δ B C D \Rightarrow A N = B N \Rightarrow Δ N A B$ cân tại N $\Rightarrow M N ⊥ A B$

Tương tụ ta có $M N ⊥ C D .$

Ta có: $P Q = R S = M N = \sqrt{A N^{2} - A M^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Suy ra $d (G, A B) = d (G, C D) = \frac{1}{2} M N = \frac{a \sqrt{2}}{4} .$

Chứng minh tương tự ta có $d (G, A C) = d (G, A D) = d (G, B D) = d (G, B C) = \frac{a \sqrt{2}}{4}$

Vậy G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD.

Bán kính mặt cầu $R = \frac{a \sqrt{2}}{4} .$ Suy ra thể tích khối cầu là $V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(\frac{a \sqrt{2}}{4})}^{3} = \frac{\sqrt{2} π a^{3}}{24} .$

...Xem thêm

Answer 2