Chọn C.

Tập xác định: D=R Ta có $y=3a{x}^2+2bx+c$ 

Do đồ thị (C) có hai điểm cực trị nên ta có phương trình y '=0 có hai nghiệm phân biệt hay là phương trình $3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt x_i, x_j và hai nghiệm này cũng chính là hoành độ của hai điểm cực trị của đồ thị (C). theo vi-ét ta có $x_i+x_j=-\frac{2b}{3a}.$ 

Suy ra hoành độ giao điểm nối hai điểm cực trị là

$x_0=\frac{x_i+x_j}{2}=\frac{1}{3}\iff -\frac{2b}{3a}=\frac{2}{3}\iff b=-a.$ 

Mặt khác do giả thiết ta có phương trình $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ có ba nghiệm phân biệt x₁, x₂, x₃ nên theo vi-ét ta có  $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=\frac{a}{a}=1.$

Ta có:

${\left(3x_1+4x_2+5x_3\right)}^2=44\left(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1\right)\iff 9x_1^2+16x_2^2+25x_3^2=20x_1{x}_2+4x_2{x}_3+14x_3{x}_1$ 

$\iff \frac{20}{3}{x}_1^2+\frac{40}{3}{x}_2^2+x_2^2+4x_3^2+\frac{7}{3}{x}_1^2+21x_3^2=20x_1{x}_2+4x_2{x}_3+14x_3{x}_1$ 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có:

• $\frac{5}{3}\left(4x_1^2+9x_2^2\right)\ge \frac{5}{3}.2\sqrt{4x_1^1.9x_2^2}=20x_1{x}_2$ (1).
• $x_2^2+4x_3^2\ge 2\sqrt{x_2^2.4x_3^2}=4x_1{x}_2$ (2).
• $\frac{7}{12}\left(4x_1^2+36x_3^2\right)\ge \frac{7}{12}.2\sqrt{4x_1^2.36x_3^2}=14x_3{x}_1$ (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế ta có: $9x_1^2+16x_2^2+25x_3^2\ge 20x_1{x}_2+4x_2{x}_3+14x_3{x}_1.$ 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{array}{l}4x_1^2=9x_2^2\\ x_2^2=4x_3^2\\ 4x_1^2=36x_3^2\\ x_1+x_2+x_3=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{3}{2}{x}_2\\ x_2=2x_3\\ x_3=\frac{1}{3}{x}_1\\ x_1+x_2+x_3=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{1}{2}\\ x_2=\frac{1}{3}\\ x_3=\frac{1}{6}\end{array}\right..$ 

Vậy $S=x_1+x_2^2+x_3^2=\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{6}\right)}^3=\frac{133}{216}.$