Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

+ Tam giác SAB đều $\Rightarrow S A = S B = A B = 2 a$

+ Xét tam giác SAD có

$S D^{2} = S A^{2} + A D^{2} - 2 S A . S D . c o s S A D = 12 a^{2} \Rightarrow S D = 2 \sqrt{3} a$

+ Gọi $A C \cap B D = O \Rightarrow A O = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{3} a}{2}$

$\Rightarrow B O = \sqrt{A B^{2} - A O^{2}} = \frac{\sqrt{13} a}{2} \Rightarrow B D = \sqrt{13} a$

Áp dụng công thức Hêrông ta tính được diện tích của tam giác SBD là $S_{∆ S B D} = \frac{\sqrt{183} a^{2}}{4}$

+ Gọi H là hình chiếu của A trên (SBD). Vì $A B = A D = A S = 2 a \Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

$S B D \Rightarrow S H = \frac{S B . S D . B D}{4 S_{∆ S B D}} = \frac{4 \sqrt{39} a}{\sqrt{183}}$

$\Rightarrow A H = \sqrt{S A^{2} - S H^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - \frac{624 a^{2}}{183}} = \frac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{183}} \Rightarrow v_{S . A B D} = V_{A . S B D} = \frac{1}{3} . A H . S_{∆ S B D} = \frac{1}{3} . \frac{6 \sqrt{3} a}{\sqrt{183}} . \frac{\sqrt{183} a^{3}}{4} = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{4} \Rightarrow V_{S . A B C D} = 2 V_{S . A B C D} = \sqrt{3} a^{3}$

Cách 2:

Ta có

$c o s B A C = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 . A B . A C} = \frac{4 a^{2} + 3 a^{2} - 4 a^{2}}{2.2 a . \sqrt{3} a} = \frac{\sqrt{3}}{4} \Rightarrow c o s B A D = 2 {(c o s B A C)}^{2} - 1 = - \frac{5}{8}$

Áp dụng công thức tính nhanh cho khối chóp A.SBD ta có

$V_{A . S B D} = \frac{A S . A B . A D}{2}$ .

Chọn đáp án A.

...Xem thêm

Answer 2