Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án D

Cho x,y > 0 thỏa mãn $2 (x^{2} + y^{2}) + x y = (x + y) (2 + x y) \Leftrightarrow 2 {(x + y)}^{2} - (2 + x y) (x + y) - 3 x y = 0$ (*)

Đặt $\{\begin{cases} x + y = u \\ x y = v \end{cases}$ ta đc PT bậc II: $2 u^{2} - (v + 2) u - 3 = 0$ gải ra ta được $u = \frac{v + 2 + \sqrt{v^{2} + 28 v + 4}}{4}$

Ta có $P = 4 (\frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{x^{3}}) - 9 (\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}) = 4 {(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})}^{3} - 9 {(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})}^{2} - 12 (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) + 18$ , đặt $t = (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}), (t \geq 2) \Rightarrow P = 4 t^{3} - 9 t^{2} - 12 t + 18$ ; $P' = 6 (2 t^{2} - 3 t + 2) \geq 0$ với $\forall t \geq 2 \Rightarrow M i n_{P} = P_{(t_{0})}$ trong đó $t_{0} = m i n_{t} = m i n (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})$ với x,y thỏa mãn điều kiện (*).

Ta có :

$t = (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) = \frac{{(x + y)}^{2}}{x y} - 2 = \frac{u^{2}}{v} - 2 = \frac{{(v + 2 + \sqrt{v^{2} + 28 v + 4})}^{2}}{16 v} - 2 = \frac{1}{16} {(\sqrt{v} + \frac{2}{\sqrt{v}} + \sqrt{v + \frac{4}{v} + 28})}^{2} - 2 \geq \frac{1}{16} {(2 \sqrt{2} + \sqrt{32})}^{2} - 2 = \frac{5}{2}$

Vậy $m i n_{P} = P_{(\frac{5}{2})} = 4 . {(\frac{5}{2})}^{2} - 9 {(\frac{5}{2})}^{2} - 12 . \frac{5}{2} + 18 = - \frac{23}{4}$

...Xem thêm

Answer 2

Đáp án D

Cho x,y > 0 thỏa mãn $2 (x^{2} + y^{2}) + x y = (x + y) (2 + x y) \Leftrightarrow 2 {(x + y)}^{2} - (2 + x y) (x + y) - 3 x y = 0$ (*)

Đặt $\{\begin{cases} x + y = u \\ x y = v \end{cases}$ ta đc PT bậc II: $2 u^{2} - (v + 2) u - 3 = 0$ gải ra ta được $u = \frac{v + 2 + \sqrt{v^{2} + 28 v + 4}}{4}$

Ta có $P = 4 (\frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{x^{3}}) - 9 (\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}) = 4 {(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})}^{3} - 9 {(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})}^{2} - 12 (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) + 18$ , đặt $t = (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}), (t \geq 2) \Rightarrow P = 4 t^{3} - 9 t^{2} - 12 t + 18$ ; $P' = 6 (2 t^{2} - 3 t + 2) \geq 0$ với $\forall t \geq 2 \Rightarrow M i n_{P} = P_{(t_{0})}$ trong đó $t_{0} = m i n_{t} = m i n (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})$ với x,y thỏa mãn điều kiện (*).

Ta có :

$t = (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) = \frac{{(x + y)}^{2}}{x y} - 2 = \frac{u^{2}}{v} - 2 = \frac{{(v + 2 + \sqrt{v^{2} + 28 v + 4})}^{2}}{16 v} - 2 = \frac{1}{16} {(\sqrt{v} + \frac{2}{\sqrt{v}} + \sqrt{v + \frac{4}{v} + 28})}^{2} - 2 \geq \frac{1}{16} {(2 \sqrt{2} + \sqrt{32})}^{2} - 2 = \frac{5}{2}$

Vậy $m i n_{P} = P_{(\frac{5}{2})} = 4 . {(\frac{5}{2})}^{2} - 9 {(\frac{5}{2})}^{2} - 12 . \frac{5}{2} + 18 = - \frac{23}{4}$

1 câu trả lời 205

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 12