Xét trường hợp tổng quát là bốn mặt cầu có bán kính r.

Gọi tâm các mặt cầu là S, A, B, C, trong đó S là tâm của mặt cầu trên cùng.

Do các mặt cầu tiếp xúc ngoài nhau nên S.ABC là chóp đều cạnh 2r.

Gọi I là tâm của tam giác ABC, khi đó SI vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] và \[AI = \frac{{2r\sqrt 3 }}{3}\].

Tam giác SAI vuông tại I, có

\[SI = \sqrt {S{A^2} - A{I^2}} = \sqrt {4{r^2} - {{\left( {\frac{{2r\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2r\sqrt 6 }}{3}\].

Kẻ đường sinh JP của hình nón tiếp xúc với hai mặt cầu tâm S và tâm A lần lượt tại H, K.

Ta có \[\Delta SAI\~\Delta JSH\](g-g) nên \[\frac{{SJ}}{{SA}} = \frac{{SH}}{{AI}}\].

\[ \Rightarrow SJ = \frac{{SA.SH}}{{AI}} = 2r.r.\frac{3}{{2r\sqrt 3 }} = r\sqrt 3 \].

Chiều cao của khối nón là

 \[h = JS + SI + IO = r\sqrt 3 + \frac{{2r\sqrt 6 }}{3} + r = r\left( {1 + \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)\].

Bán kính khối nón là \[R = OP = JO.\tan \widehat {SJH}\].

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow R = h.\tan ASI = r\left( {1 + \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right).\frac{{AI}}{{SI}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = r\left( {1 + \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right).\frac{{2r\sqrt 3 }}{3}.\frac{3}{{2r\sqrt 6 }} = r\left( {1 + \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right).\frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array}\]

Áp dụng với \[r = \sqrt 2 \] ta được \[R = \sqrt 2 .\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\left( {1 + \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right) = 1 + \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\]. Chọn C.