Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\).

Vì \(C \in d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = t}\\{z = 2 - t}\end{array} \Rightarrow C\left( { - 1 + 2t;t;2 - t} \right)} \right.\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1; - 2} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {2t;t - 3;1 - t} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3t - 7; - 3t - 1;3t - 3} \right)\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {27{t^2} - 54t + 59} \).

\({S_{ABC}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt {27{t^2} - 54t + 59} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow C\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow m.n.p = 1\).

Do đó ta điền đáp án như sau

Đáp án: 1.