Do \(AC\) song song với \(MN\) nên góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AP\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(AP\).

\(PC = \sqrt {C'{C^2} + C'{P^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

\(AP = \sqrt {A'{A^2} + A'{P^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} + {a^2}} = \frac{{3a}}{2}\).

Ta có: \(AC = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lý côsin cho ta có

\({\rm{cos}}\widehat {CAP} = \frac{{A{P^2} + A{C^2} - P{C^2}}}{{2AP.AC}} = \frac{{\frac{{9{a^2}}}{4} + 2{a^2} - \frac{{5{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{3a}}{2}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow \widehat {CAP} = 45^\circ \).

Vậy góc giữa hai đường thẳng \({\rm{MN}}\) và \({\rm{AP}}\) bằng \(45^\circ \).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({\rm{MN}}\) và \({\rm{AP}}\) bằng khoảng cách giữa \({\rm{MN}}\) và mặt phẳng \(\left( {APC} \right)\).

\(d\left( {MN,\left( {APC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {APC} \right)} \right)\)

\( = \frac{1}{2}d\left( {B,\left( {APC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {D,\left( {APC} \right)} \right)\)

\( = \frac{1}{2}.\frac{{3{V_{D.APC}}}}{{{S_{APC}}}}\).

Ta có: \({S_{APC}} = \frac{1}{2}.AP.AC.{\rm{sin}}45^\circ = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{2}.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\).

\({V_{D.APC}} = \frac{1}{3}.A'A.{S_{ACD}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{6}\).

\( \Rightarrow d\left( {MN,AP} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{3.\frac{{{a^3}}}{6}}}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{a}{3}\).

Do đó ta điền đáp án như sau

Độ dài đoạn thẳng \(AP\) là \(\frac{{3a}}{2}\).

Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AP\) là \(45^\circ \).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AP\) là \(\frac{a}{3}\).