Số cách các xếp học sinh vào ghế là \(\left( {2n + 3} \right)\)!

Nhận xét rằng nếu ba số tự nhiên \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) lập thành một cấp số cộng thì \(a + c = 2b\) nên \(a + c\) là số chẵn. Như vậy \(a,c\) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Từ 1 đến \(2n + 3\) có \(n + 1\) số chẵn và \(n + 2\) số lẻ.

Muốn có một cách xếp học sinh thỏa số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng ta sẽ tiến hành như sau:

- Bước 1: Chọn hai ghế có số thứ tự cùng chẵn hoặc cùng lẻ rồi xếp An và Chi vào, sau đó xếp Bình vào ghế chính giữa. Bước này có \(A_{n + 1}^2 + A_{n + 2}^2\) cách.

- Bước 2: Xếp chỗ cho \(2n\) học sinh còn lại. Bước này có \(\left( {2n} \right)\)!

Như vậy số cách xếp thỏa theo yêu cầu này là \(\left( {A_{n + 1}^2 + A_{n + 2}^2} \right).\left( {2n} \right)\)!

Ta có phương trình \(\frac{{\left( {A_{n + 1}^2 + A_{n + 2}^2} \right).\left( {2n} \right)!}}{{\left( {2n + 3} \right)!}} = \frac{{17}}{{1155}} \Leftrightarrow \)\[\frac{{\left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{n!}}} \right).\left( {2n} \right)!}}{{\left( {2n + 3} \right)!}} = \frac{{17}}{{1155}}\]

\( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {\left( {n + 1} \right)n + \left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)} \right]}}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 2} \right)\left( {2n + 1} \right)}} = \frac{{17}}{{1155}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)}}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}} = \frac{{17}}{{1155}}\)\( \Leftrightarrow 1155\left( {n + 1} \right) = 17\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 68{n^2} - 1019n - 1104 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 16\\n = - \frac{{69}}{{68}}\end{array} \right.\).

Vậy số học sinh của lớp là 35.