\(f\left( x \right) = - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 6\)

\( = - 2\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right) - 6{\rm{cos}}x + 6\)

\( = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4\)

Đặt \({\rm{cos}}x = t \Rightarrow - 1 \le t \le 1\)

\(f\left( x \right) = g\left( t \right) = 2{t^2} - 6t + 4\); \(g'\left( t \right) = 4t - 6;g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}\).

\(g\left( {\frac{3}{2}} \right) = - \frac{1}{2};g\left( { - 1} \right) = 12;g\left( 1 \right) = 0\).

Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) là 12.

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{cos}}x = 1\,\,\left( {{\rm{tm}}} \right)}\\{{\rm{cos}}x = 2\,\,\left( {{\rm{ktm}}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow x = k2\pi } \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Ta có \(x \in \left( {0;20} \right) \Rightarrow 0 < k2\pi < 20\)

\( \Leftrightarrow 0 < k < 3,18\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) là 3.

\(f\left( x \right) \ge 12 \Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4 \ge 12\)

\( \Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x - 8 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{\rm{cos}}x + 1} \right)\left( {{\rm{cos}}x - 4} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}x + 1 \le 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}x \le - 1\)

Mà \({\rm{cos}}x \ge - 1 \Rightarrow {\rm{cos}}x = - 1\).

Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 12\) trên đường tròn lượng giác là 1 .

Do đó ta điền như sau

Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) là 12.

Cho \(x \in \left( {0;20} \right)\), số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) là: 3 .

Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 12\) trên đường tròn lượng giác là 1 .