Ta có \(\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {f\left( {2x + 2} \right) + 1} \right]dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( {2x + 2} \right)dx + 4.} \)

Xét \({I_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( {2x + 2} \right)dx} .\)

Đặt \(t = 2x + 2 \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{2}.\)

Đổi cận: \(x = - 2 \Rightarrow t = - 2;x = 2 \Leftrightarrow t = 6\).

Suy ra

\({I_1} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^6 {f\left( t \right)} dt = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_{ - 2}^{{x_1}} {f\left( t \right)dt} + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {f\left( t \right)dt} + \int\limits_{{x_2}}^6 {f\left( t \right)dt} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{S_A} - {S_B} + {S_C}} \right) = \frac{1}{2}(32 - 2 + 3) = \frac{{33}}{2}\), với \({x_1};{x_2}\) là các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành \(\left( { - 2 < {x_1} < {x_2} < 6} \right)\).

Vậy \(\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {f\left( {2x + 2} \right) + 1} \right]dx} = {I_1} + 4 = \frac{{33}}{2} + 4 = \frac{{41}}{2}\). Chọn D.