Đặt \(t = \sqrt {6 - x} ,\left( {t > 0} \right)\) khi đó ta có hàm số \(y = f\left( t \right) = \frac{{\left( {4 - m} \right)t + 3}}{{t + m}}\) .

Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{ - {m^2} + 4m - 3}}{{{{\left( {t + m} \right)}^2}}}\) .

Mặt khác hàm số \(y = \sqrt {6 - x} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;6} \right)\).

Ta có \[ - 8 < x < 5\] thì \(1 < t < \sqrt {14} \).

Do đó hàm số \(y = \frac{{\left( {4 - m} \right)\sqrt {6 - x} + 3}}{{\sqrt {6 - x} + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 8;5} \right)\) khi và chỉ khi hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{\left( {4 - m} \right)t + 3}}{{t + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;\sqrt {14} } \right)\). Khi đó

\(f'\left( t \right) < 0,\forall t \in \left( {1;\sqrt {14} } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 4m - 3 < 0\\ - m \notin \left( {1;\sqrt {14} } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m \ge - 1\\m \le - \sqrt {14} \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\ - 1 \le m < 1\\m \le - \sqrt {14} \end{array} \right.\) .

Mà m nguyên, \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) nên \(m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 1;0;4;5;6;7;8;9} \right\}\)

Vậy có 14 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. Chọn A.